Usando as propriedades do somatório e considerando \mathrm{k}=3, calcule:
\quad \sum_{i=0}^{4}(k i+6)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\sum_{i=0}^{4}(k\,i+6)
e informa que k=3. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O índice i varia de 0 até 4, ou seja, há 5 termos na soma.
  • A expressão somada em cada termo é k\,i+6.
  • O valor de k é 3.
    O objetivo é encontrar o valor numérico dessa soma.

Passo 2

Regra útil (propriedades do somatório) — duas propriedades que vamos usar:
\sum_{i=a}^{b} (x_i+y_i)=\sum_{i=a}^{b} x_i + \sum_{i=a}^{b} y_i
e
\sum_{i=a}^{b} c\,x_i = c \sum_{i=a}^{b} x_i,
onde c é uma constante. Explicando em palavras: podemos separar a soma de uma soma em duas somas e tirar constantes para fora do somatório.

Passo 3

Aplicando a linearidade à nossa soma:
\sum_{i=0}^{4}(k\,i+6)=\sum_{i=0}^{4}k\,i+\sum_{i=0}^{4}6.

Passo 4

Tirando as constantes fora dos somatórios:
\sum_{i=0}^{4}k\,i = k\sum_{i=0}^{4}i, \qquad \sum_{i=0}^{4}6 = 6\sum_{i=0}^{4}1.
Aqui usamos que \sum_{i=0}^{4}1 conta quantos termos existem: como i vai de 0 a 4, há 5 termos, então \sum_{i=0}^{4}1=5.

Passo 5

Calcular \sum_{i=0}^{4} i. Há duas maneiras simples:
a) Usar a fórmula da soma dos inteiros de 0 a n:
\sum_{i=0}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}.
Com n=4:
\sum_{i=0}^{4} i = \frac{4\cdot 5}{2}=10.
b) Conferir somando termo a termo: 0+1+2+3+4=10. (Mesma resposta.)

Passo 6

Substituir k=3 e os valores calculados:
k\sum_{i=0}^{4}i = 3\cdot 10 = 30, \qquad 6\sum_{i=0}^{4}1 = 6\cdot 5 = 30.
Somando as duas partes:
\sum_{i=0}^{4}(k\,i+6)=30+30=60.

Passo 7

Verificação extra (opcional): calcular termo a termo com k=3:
  • i=0: 3\cdot0+6=6
  • i=1: 3\cdot1+6=9
  • i=2: 3\cdot2+6=12
  • i=3: 3\cdot3+6=15
  • i=4: 3\cdot4+6=18
Somando: 6+9+12+15+18=60, confirma o resultado.

Resposta

60

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