Os tempos de reação, medidos em segundos, de 11 motoristas para se desviarem de um obstáculo que aparece repentinamente numa pista são os seguintes:
\begin{array}{lllllllllll} 2,1 & 2,5 & 2,7 & 2,3 & 2,4 & 2,0 & 2,7 & 3,0 & 1,4 & 2,4 & 2,8 \end{array}
Determine o tempo médio e o tempo mediano de reação.

Passo 1

O enunciado dá os tempos de reação (em segundos) de 11 motoristas:
2,1,\;2,5,\;2,7,\;2,3,\;2,4,\;2,0,\;2,7,\;3,0,\;1,4,\;2,4,\;2,8.
Pede-se:
  • o tempo médio (média aritmética) de reação;
  • o tempo mediano de reação.
Vou usar apenas os dados fornecidos acima.

Passo 2

Definição e fórmula da média aritmética (o “tempo médio”):
A média amostral é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Escrevemos:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média, n é o número de observações e x_i são os valores observados.
Aqui n=11. Vou somar todos os tempos para obter \sum_{i=1}^{11} x_i. É prático agrupar as somas em passos para evitar erros:
\begin{aligned} 2,1+2,5&=4,6,\\\\ 4,6+2,7&=7,3,\\\\ 7,3+2,3&=9,6,\\\\ 9,6+2,4&=12,0,\\\\ 12,0+2,0&=14,0,\\\\ 14,0+2,7&=16,7,\\\\ 16,7+3,0&=19,7,\\\\ 19,7+1,4&=21,1,\\\\ 21,1+2,4&=23,5,\\\\ 23,5+2,8&=26,3. \end{aligned}
Portanto a soma total é
\sum_{i=1}^{11} x_i = 26,3.
Agora calculamos a média:
\bar{x}=\frac{26,3}{11}.
Fazendo a divisão:
\frac{26,3}{11}=2,390909\ldots
ou seja, 2,3909\ldots segundos. Em notação prática, arredondando para três casas decimais, \bar{x}\approx2,391 s; arredondando para duas casas decimais, \bar{x}\approx2,39 s.

Passo 3

Definição e procedimento para a mediana:
A mediana é o valor central da amostra ordenada. Se n for ímpar, a posição do valor central é
k=\frac{n+1}{2}.
Aqui n=11, então
k=\frac{11+1}{2}=\frac{12}{2}=6.
Ou seja, a mediana é o 6-º menor valor da lista ordenada.
Primeiro ordeno os dados em ordem crescente (mostrando explicitamente que os números vêm do enunciado):
1,4,\;2,0,\;2,1,\;2,3,\;2,4,\;2,4,\;2,5,\;2,7,\;2,7,\;2,8,\;3,0.
Agora conto: o 6-º elemento dessa lista ordenada é 2,4. Portanto a mediana é
\text{mediana}=2,4\\ \text{s}.

Passo 4

Interpretação curta (dica para a prova):
  • A média ( \bar{x}) resume o “centro” aritmético dos dados, mas pode ser influenciada por valores atípicos (por exemplo um tempo muito grande).
  • A mediana é o valor central e é mais robusta a outliers; para n ímpar é simplesmente o \tfrac{n+1}{2}-ésimo valor da amostra ordenada.
    Dica rápida de cálculo mental para a média: somar em pares que formem números inteiros ou fáceis (usei isso nas somas acima) para reduzir erros.

Resposta

\bar{x}=\dfrac{26,3}{11}\approx2,3909\ldots\\ \text{s} (aproximadamente 2,391\\ \text{s})
\text{mediana}=2,4\\ \text{s}

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