A tabela abaixo exibe a relação entre o potencial eletrostático
e a distância radial
.
(a) Descreva uma situação que possa corresponder a estes dados.
(b) Qual o campo elétrico em
?
© Qual o campo elétrico em
?
(d) Qual o campo elétrico na superfície
?
(e) Se esta situação equivale a algum capacitor, qual a diferença de potencial entre as duas placas?
(f) Qual a carga da placa inferior deste capacitor de modo a ser consistente com o campo elétrico encontrado em (d)?
(g) Use seus dados dos itens (e) e (f) para estimar a capacitância.
(a) Descreva uma situação que possa corresponder a estes dados.
(b) Qual o campo elétrico em
© Qual o campo elétrico em
(d) Qual o campo elétrico na superfície
(e) Se esta situação equivale a algum capacitor, qual a diferença de potencial entre as duas placas?
(f) Qual a carga da placa inferior deste capacitor de modo a ser consistente com o campo elétrico encontrado em (d)?
(g) Use seus dados dos itens (e) e (f) para estimar a capacitância.
Distancia radial (cm) | Potencial (V) |
---|---|
0 | 27000 |
2 | 27000 |
4 | 27000 |
6 | 27000 |
8 | 27000 |
10 | 27000 |
12 | 22500 |
14 | 19300 |
16 | 16900 |
18 | 15000 |
20 | 13500 |
22 | 13500 |
24 | 13500 |
26 | 13500 |
28 | 13500 |
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A tabela mostra como o potencial eletrostático $ V $ varia com a distância radial $ r $. Estamos lidando com conceitos de eletrostática, especificamente com potencial elétrico, campo elétrico e capacitores. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como o potencial e o campo elétrico se relacionam, além de alguns conceitos básicos sobre capacitores.
Passo 2
(a) Descreva uma situação que possa corresponder a estes dados.
Vamos imaginar que temos um capacitor esférico, que consiste em duas esferas concêntricas: uma interna (plano positivo) e uma externa (plano negativo). O potencial $ V $ permanece constante em várias distâncias até chegar a uma certa separação onde ele começa a diminuir. Isso sugere que dentro de uma certa região (até 10 cm), o potencial é constante, provavelmente dentro de uma das placas do capacitor, e fora dessa região, o potencial começa a variar devido à presença da carga nas placas.
Passo 3
(b) Qual o campo elétrico em $ r = 6 , cm $?
Dentro da região onde o potencial é constante ($ r \leq 10 , cm $), o campo elétrico $ E $ está relacionado à variação do potencial com a distância:
Mas se o potencial $ V $ é constante, sua derivada em relação a $ r $ é zero. Portanto:
Passo 4
© Qual o campo elétrico em $ r = 12 , cm $?
Para $ r = 12 , cm $, o potencial mudou para 22500 V. Vamos calcular a variação do potencial entre 10 cm e 12 cm:
A distância $ \Delta r = 12,cm - 10,cm = 2,cm $.
Agora, aplicamos a fórmula do campo elétrico:
Passo 5
(d) Qual o campo elétrico na superfície $ r = 10 , cm $?
Na superfície $ r = 10 , cm $, ocorre a transição do potencial constante para a variação. O campo elétrico na superfície pode ser encontrado considerando a diferença de potencial imediatamente fora da superfície:
Usando os valores próximos a 10 cm:
Então:
Portanto, o campo elétrico na superfície é $ 2250,V/cm $.
Passo 6
(e) Se esta situação equivale a algum capacitor, qual a diferença de potencial entre as duas placas?
A diferença de potencial entre as duas placas do capacitor é a variação total de $ V $ de dentro para fora. Observando a tabela:
- Potencial na placa interna ($ r \leq 10,cm $): $ 27000,V $
- Potencial na placa externa ($ r = 10,cm $): $ 27000,V $
- Potencial fora da placa externa ($ r > 10,cm $): começa a diminuir.
A diferença de potencial é entre as duas placas internas e externas:
Passo 7
(f) Qual a carga da placa inferior deste capacitor de modo a ser consistente com o campo elétrico encontrado em (d)?
Usamos a relação entre o campo elétrico e a carga em um capacitor paralelo:
Onde $ \sigma $ é a densidade de carga e $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12}, F/m $).
Primeiro, convertendo o campo elétrico para unidades do SI:
Agora, calculamos $ \sigma $:
Para encontrar a carga $ Q $, precisamos da área das placas. Se considerarmos um capacitor esférico, a área externa seria:
Então:
Passo 8
(g) Use seus dados dos itens (e) e (f) para estimar a capacitância.
A capacitância $ C $ é dada por:
Usando os valores encontrados:
Então:
Resposta
A capacitância estimada é aproximadamente $ 55.6,pF $.