A tabela abaixo exibe a relação entre o potencial eletrostático V(e m V) e a distância radial r(em cm).
(a) Descreva uma situação que possa corresponder a estes dados.
(b) Qual o campo elétrico em r=6 cm ?
© Qual o campo elétrico em r=12 cm ?
(d) Qual o campo elétrico na superfície r=10 cm ?
(e) Se esta situação equivale a algum capacitor, qual a diferença de potencial entre as duas placas?
(f) Qual a carga da placa inferior deste capacitor de modo a ser consistente com o campo elétrico encontrado em (d)?
(g) Use seus dados dos itens (e) e (f) para estimar a capacitância.
Distancia radial (cm) Potencial (V)
0 27000
2 27000
4 27000
6 27000
8 27000
10 27000
12 22500
14 19300
16 16900
18 15000
20 13500
22 13500
24 13500
26 13500
28 13500

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A tabela mostra como o potencial eletrostático $ V $ varia com a distância radial $ r $. Estamos lidando com conceitos de eletrostática, especificamente com potencial elétrico, campo elétrico e capacitores. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como o potencial e o campo elétrico se relacionam, além de alguns conceitos básicos sobre capacitores.

Passo 2

(a) Descreva uma situação que possa corresponder a estes dados.
Vamos imaginar que temos um capacitor esférico, que consiste em duas esferas concêntricas: uma interna (plano positivo) e uma externa (plano negativo). O potencial $ V $ permanece constante em várias distâncias até chegar a uma certa separação onde ele começa a diminuir. Isso sugere que dentro de uma certa região (até 10 cm), o potencial é constante, provavelmente dentro de uma das placas do capacitor, e fora dessa região, o potencial começa a variar devido à presença da carga nas placas.

Passo 3

(b) Qual o campo elétrico em $ r = 6 , cm $?
Dentro da região onde o potencial é constante ($ r \leq 10 , cm $), o campo elétrico $ E $ está relacionado à variação do potencial com a distância:
r = 6 , cm
Mas se o potencial $ V $ é constante, sua derivada em relação a $ r $ é zero. Portanto:
r <= 10 , cm

Passo 4

© Qual o campo elétrico em $ r = 12 , cm $?
Para $ r = 12 , cm $, o potencial mudou para 22500 V. Vamos calcular a variação do potencial entre 10 cm e 12 cm:
r = 12 , cm
A distância $ \Delta r = 12,cm - 10,cm = 2,cm $.
Agora, aplicamos a fórmula do campo elétrico:
r = 12 , cm

Passo 5

(d) Qual o campo elétrico na superfície $ r = 10 , cm $?
Na superfície $ r = 10 , cm $, ocorre a transição do potencial constante para a variação. O campo elétrico na superfície pode ser encontrado considerando a diferença de potencial imediatamente fora da superfície:
r = 10 , cm
Usando os valores próximos a 10 cm:
r = 10 , cm
E = -dVdr
Então:
De
Portanto, o campo elétrico na superfície é $ 2250,V/cm $.

Passo 6

(e) Se esta situação equivale a algum capacitor, qual a diferença de potencial entre as duas placas?
A diferença de potencial entre as duas placas do capacitor é a variação total de $ V $ de dentro para fora. Observando a tabela:
  • Potencial na placa interna ($ r \leq 10,cm $): $ 27000,V $
  • Potencial na placa externa ($ r = 10,cm $): $ 27000,V $
  • Potencial fora da placa externa ($ r > 10,cm $): começa a diminuir.
A diferença de potencial é entre as duas placas internas e externas:
V

Passo 7

(f) Qual a carga da placa inferior deste capacitor de modo a ser consistente com o campo elétrico encontrado em (d)?
Usamos a relação entre o campo elétrico e a carga em um capacitor paralelo:
E = sigmavarepsilon0
Onde $ \sigma $ é a densidade de carga e $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12}, F/m $).
Primeiro, convertendo o campo elétrico para unidades do SI:
sigma
Agora, calculamos $ \sigma $:
varepsilon0
Para encontrar a carga $ Q $, precisamos da área das placas. Se considerarmos um capacitor esférico, a área externa seria:
varepsilon0 approx 8.85 times 10^-12, F/m
Então:
E = 2250,V/cm = 2250 times 10^2,V/m = 2.25 times 10^5,V/m

Passo 8

(g) Use seus dados dos itens (e) e (f) para estimar a capacitância.
A capacitância $ C $ é dada por:
C
Usando os valores encontrados:
C = QDe
Q = 2.5 times 10^-7,C
Então:
De
C = 2.5 times 10^-7,C4500,V approx 5.56 times 10^-11,F

Resposta

A capacitância estimada é aproximadamente $ 55.6,pF $.

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