A tabela abaixo indica a idade x (em anos) e o valor y do aluguel (em reais) de 10 casas. Considerando o ajuste de um modelo de regressão linear simples, calcule (utilizar 4 casas decimais):
\mathbf{x} \mathbf{y}
10 1953
15 1967
26 1994
48 2174
47 2176
41 2109
44 2118
5 1961
23 2063
48 2193
a. O coeficiente de correlação de Pearson: \square
b. O coeficiente linear estimado: \square
c. O coeficiente angular estimado: \square
d. O valor estimado do aluguel para uma casa com 43 anos: \square

Passo 1

O enunciado dá 10 pares (x_i,y_i) com x_i = idade da casa e y_i = valor do aluguel, e pede:
  • o coeficiente de correlação de Pearson;
  • os coeficientes da reta de regressão simples \hat y = b_0 + b_1x;
  • o valor predito \hat y para x=43.
    Vamos precisar calcular \sum x_i, \sum y_i, \sum x_i^2, \sum y_i^2, \sum x_i y_i, as médias \bar x,\bar y e então usar as fórmulas de S_{xx},S_{yy},S_{xy}, correlação r e coeficientes b_0,b_1.

Passo 2

Calcular somas e médias (valores numéricos arredondados a 1 casa para intermediários):
\displaystyle n=10 \displaystyle \sum x_i = 307, \displaystyle \sum y_i = 20708 \displaystyle \sum x_i^2 = 11989, \displaystyle \sum y_i^2 = 42965130 \displaystyle \sum x_i y_i = 649682 \displaystyle \bar x = \frac{307}{10} = 30{,}7,
\displaystyle \bar y = \frac{20708}{10} = 2070{,}8.

Passo 3

Calcular os somatórios de quadrados e covariância:
S_{xx} = \sum x_i^2 - n\,\bar x^2 =11989 -10\,(30{,}7)^2 =2564{,}1
S_{yy} = \sum y_i^2 - n\,\bar y^2 =42965130 -10\,(2070{,}8)^2 =83003{,}6
S_{xy} = \sum x_i y_i - n\,\bar x\,\bar y =649682 -10\,(30{,}7)(2070{,}8) =13946{,}4
Coeficiente de correlação de Pearson:
r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} \approx \frac{13946{,}4}{\sqrt{2564{,}1 \times 83003{,}6}} \approx 0{,}9560

Passo 4

Coeficientes da reta de regressão \hat y = b_0 + b_1 x:
b_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{13946{,}4}{2564{,}1} \approx 5{,}4385
b_0 = \bar y - b_1\,\bar x =2070{,}8 - 5{,}4385 \times 30{,}7 \approx 1903{,}8380

Passo 5

Valor estimado para x=43:
\hat y(43) = b_0 + b_1 \times 43 \approx 1903{,}8380 + 5{,}4385 \times 43 \approx 2137{,}6935

Resposta

a. 0{,}9560
b. b_0 = 1903{,}8380
c. b_1 = 5{,}4385
d. \hat y(43) = 2137{,}6935

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