A tabela abaixo indica a idade x (em anos) e o valor y do aluguel (em reais) de 20 casas. Considerando o ajuste de um modelo de regressăo linear simples, calcule (utilizar 4 casas decimais):
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}
40 2097
23 2116
41 1986
32 2070
8 2195
17 2162
13 2173
16 2121
39 2035
21 2165
19 2115
13 2196
20 2142
33 2069
47 2013
9 2194
13 2154
45 2037
19 2168
38 2039
a. O coeficiente de correlação de Pearson: \square
b. O coeficiente linear estimado: \square
c. O coeficiente angular estimado: \square
d. O valor estimado do aluguel para uma casa com 14 anos: \square

Passo 1

O enunciado fornece 20 pares (x_i,y_i), onde x_i é a idade da casa e y_i é o valor do aluguel. Pede-se o coeficiente de correlação de Pearson, os coeficientes da reta de regressão linear simples ( b_0 e b_1) e a predição do aluguel para x=14. Vamos usar as fórmulas de regressão por mínimos quadrados e de correlação.

Passo 2

Primeiro calculamos os somatórios necessários:
\sum_{i=1}^{20} x_i = 506,\quad \sum_{i=1}^{20} y_i = 42247,\quad \sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 15882,
\sum_{i=1}^{20} y_i^2 = 89322451,\quad \sum_{i=1}^{20} x_i y_i = 1055091.

Passo 3

Das somas achamos as médias:
\bar x = \frac{506}{20} = 25{,}3, \qquad \bar y = \frac{42247}{20} = 2112{,}35.

Passo 4

A inclinação b_1 é dada por
b_1 = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i\,\sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} = \frac{20\cdot1055091 - 506\cdot42247}{20\cdot15882 - 506^2} = \frac{-275162}{61604} \approx -4{,}4663.

Passo 5

O coeficiente linear b_0 é
b_0 = \bar y - b_1\,\bar x = 2112{,}35 - (-4{,}466319)\cdot25{,}3 \approx 2225{,}3479.

Passo 6

O coeficiente de correlação de Pearson r é
r = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i\,\sum y_i} {\sqrt{\bigl(n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\bigr)\bigl(n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2\bigr)}} = \frac{-275162}{\sqrt{61604\cdot1640011}} \approx -0{,}8660.

Passo 7

Para predizer o aluguel com x=14:
\hat y(14) = b_0 + b_1\cdot14 = 2225{,}3479 -4{,}466319\cdot14 \approx 2162{,}8194.

Resposta

a. -0,8660
b. 2225,3479
c. -4,4663
d. 2162,8194

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