A tabela abaixo mostra o resultado de uma análise granulométrica com peneiras de padronização Tyler alternada:
Mesh Tyler
Massa (g)
-16+24
10,7
-24+32
52,1
112,8
-42+60
245,3
-60+80
82,5
-80+115
26,6
-115
10,0
Pede-se:
a) Sobre um mesmo diagrama de escalas homogêneas representar a referida distribuição de tamanhos por meio de frequências simples normalizadas
e frequências acumuladas y e
.
b) Calcule os parâmetros dos modelos RRB e GGS que descrevem a referida distribuição de tamanhos. Qual deles se ajusta melhor?
c) Calcule o diâmetro médio de Sauter da amostra usando a distribuição de tamanhos discreta.
| Mesh Tyler | Massa (g) |
| -16+24 | 10,7 |
| -24+32 | 52,1 |
|
|
112,8 |
| -42+60 | 245,3 |
| -60+80 | 82,5 |
| -80+115 | 26,6 |
| -115 | 10,0 |
a) Sobre um mesmo diagrama de escalas homogêneas representar a referida distribuição de tamanhos por meio de frequências simples normalizadas
b) Calcule os parâmetros dos modelos RRB e GGS que descrevem a referida distribuição de tamanhos. Qual deles se ajusta melhor?
c) Calcule o diâmetro médio de Sauter da amostra usando a distribuição de tamanhos discreta.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos (resumo claro, sem resolver nada ainda).
-
O enunciado dá a massa retida em cada faixa de peneiras (Tyler alternada). As massas (em g) são:
- faixa
: - faixa
: - faixa
: - faixa
: - faixa
: - faixa
: - faixa
(passante na 115):
- faixa
-
Perguntas:
a) Representar, num mesmo diagrama de escalas homogêneas, a distribuição por tamanhos através das frequências simples normalizadase das frequências acumuladas e .
b) Ajustar os modelos RRB (Rosin–Rammler–Bennett) e GGS (Gaudin–Schuhmann), calcular seus parâmetros e dizer qual ajusta melhor.
c) Calcular o diâmetro médio de Sauter () usando a distribuição discreta dada. -
Informações/assunções necessárias que vou usar (já que o enunciado só deu mesh e massas):
- Vou usar aberturas típicas da tabela padrão de peneiras Tyler (valores de abertura em mm):
- Vou usar aberturas típicas da tabela padrão de peneiras Tyler (valores de abertura em mm):
(Esses valores são valores padrão geralmente usados para peneiras Tyler; estou explicitando isso porque precisamos de diâmetros.)
- Para a classe final “passante em 115” (
) há somente um limite superior . Para poder usar um diâmetro representativo dessa classe, vou assumir um limite inferior típico igual a (valor comumente usado como limite inferior prático em análises finas). Vou explicitar esta escolha quando usar os diâmetros representativos. - Para representar cada classe por um único diâmetro representativo vou usar a média geométrica da borda superior e inferior da classe:
Passo 2
Montagem da tabela de frequências simples normalizadas
, e das frequências acumuladas
(acumulada a partir do mais grosso — retido cumulativo) e
(acumulada a partir do mais fino — passante cumulativo). Cálculos passo a passo.
- Somar todas as massas:
- Frequências simples normalizadas:
Calculei cada uma (arredondando em notação decimal quando necessário):
- faixa
: . - faixa
: . - faixa
: . - faixa
: . - faixa
: . - faixa
: . - faixa
: .
- Frequência acumulada
(retidos acumulados, do mais grosso para o mais fino):
Calculando:
- Frequência acumulada
(passante acumulada, do mais fino para o mais grosso; ou seja, fração mais fina que o diâmetro considerado):
Calculando:
(aqui escrevi
primeiro para corresponder a cada classe da mais grossa para a mais fina; se preferir a ordem do mais fino para o mais grosso, leia a lista inversa).
- Diâmetros representativos
(média geométrica das bordas) usados para plotagem e para cálculos posteriores:
- para
: . - para
: . - para
: . - para
: . - para
: . - para
: . - para
: assumi limite inferior , assim .
Observação sobre o diagrama pedido em (a): um “diagrama de escalas homogêneas” normalmente significa escalas logarítmicas no eixo dos diâmetros (eixo
em escala log) para que as classes geométricas fiquem distribuídas uniformemente. Para plotar tudo num mesmo gráfico: no eixo
use
(ou escala log linear) e no eixo
coloque tanto
(barras) quanto
e
(curvas cumulativas). Como aqui não posso desenhar diretamente, dei todos os números necessários para construir esse gráfico.
Passo 3
Explicação didática e preparação para ajuste dos modelos (o “porquê” e a linearização que vou usar).
Vou ajustar dois modelos clássicos de granulometria:
- Modelo Gaudin–Schuhmann (GGS), função potência:
onde
é a fração em massa passante (acumulada) para diâmetro
,
é o expoente (forma) e
é uma escala em mm. Para estimar
e
faço a transformação logarítmica (linearização):
Isto é uma reta
com
. Posso então ajustar por regressão linear
.
- Modelo Rosin–Rammler–Bennett (RRB), também chamado Rosin–Rammler:
onde
é parâmetro de escala e
de forma. A linearização é:
Ou seja, fazendo
e
temos
com
. Ajustamos por regressão linear.
Procedimento prático que vou usar:
- Usar os pares
para GGS e para RRB, excluindo o ponto com (porque indefinido). Assim uso as 6 classes onde . - Fazer regressão linear por mínimos quadrados para obter inclinação (que dá
ou ) e intercepto (que dá ou ). - Calcular R² (coeficiente de determinação) na escala transformada para comparar o ajuste: maior
→ melhor ajuste na escala usada (isso é um indicativo prático).
Passo 4
Ajuste Gaudin–Schuhmann (GGS): cálculos passo a passo (linearização e regressão).
- Dados usados (já calculados no Passo 2) para as 6 classes úteis (
, evitando ): -
em mm: -
:
-
- Transformações:
-
e . - Cálculos (valores aproximados):
-
- Regressão linear por mínimos quadrados (fórmulas padrão):
(aqui é o intercepto tal que .) - Resultado numérico (cálculos mostrados no rascunho):
-
. - intercepto
. - Da relação
deduz-se
-
- Métrica de ajuste (R² na escala transformada
vs ): -
(ou da variância explicada na escala log).
-
Portanto o modelo GGS ajustado é (expressão direta):
Passo 5
Ajuste Rosin–Rammler–Bennett (RRB): cálculos passo a passo (linearização e regressão).
- Usamos os mesmos
e (excluindo ). - Transformação para linearizar:
(porque .) - Valores calculados (aproximados):
correspondendo aos mesmos do passo anterior. - Regressão linear
por mínimos quadrados. - Resultados numéricos:
-
. - intercepto
. - Da relação
obtemos
-
- Métrica de ajuste:
-
(ou explicado na escala transformada).
-
Portanto o modelo RRB ajustado é:
Passo 6
Comparação dos ajustes (interpretação e escolha do melhor modelo).
- Comparei
das regressões nas respectivas escalas lineares depois da transformação: -
. -
.
-
- Interpretação prática: o RRB tem
maior, ou seja, na transformação usada ele explica melhor a variabilidade dos pontos (o ajuste é visualmente e estatisticamente superior). Portanto, para estes dados a curva RRB dá um ajuste melhor que a GGS. - Observação física: RRB é bastante usada quando a distribuição apresenta uma “cauda” curta e uma forma que segue bem a função exponencial de potência; GGS é uma lei de potência simples e por vezes menos flexível em caudas.
Passo 7
Cálculo do diâmetro médio de Sauter
(definição, fórmula e cálculo numérico usando a distribuição discreta).
-
Definição e fórmula (explicação didática):
- O diâmetro médio de Sauter
é a média ponderada por área superficial (é a razão entre o 3º momento e o 2º momento da distribuição): Aqui é a fração em massa (assumimos densidade constante das partículas), e é o diâmetro representativo da classe . - Intuição:
dá o diâmetro equivalente que relaciona volume e superfície — muito usado em caracterização de partículas para processos de reação, superfície específica, etc.
- O diâmetro médio de Sauter
-
Cálculo (usei os
e do Passo 2). Primeiro calculei e e depois as somas ponderadas e .
Tabela resumo dos termos (valores arredondados para apresentação; nos cálculos usei maior precisão):
- Somando:
- Então
Interpretação:
. Esse valor é coerente com a escala típica da distribuição (o resultado está próximo do parâmetro de escala
da lei GGS ajustada, que deu
).
Resposta
a) Frequências simples normalizadas
(fração em massa por classe) e acumuladas
(retidos cumul.) e
(passantes cumul.):
(para plotagem usei os diâmetros representativos
em mm:
— média geométrica das bordas; para a última classe assumi limite inferior
.)
b) Parâmetros ajustados:
- GGS (Gaudin–Schuhmann):
. (modelo ). . - RRB (Rosin–Rammler–Bennett):
. (modelo ). .
Qual se ajusta melhor? O RRB ajusta melhor (maior
:
vs
).
c) Diâmetro médio de Sauter (discreto):