A tabela abaixo mostra o resultado de uma análise granulométrica com peneiras de padronização Tyler alternada:
Mesh Tyler Massa (g)
-16+24 10,7
-24+32 52,1
-32+42 112,8
-42+60 245,3
-60+80 82,5
-80+115 26,6
-115 10,0
Pede-se:
a) Sobre um mesmo diagrama de escalas homogêneas representar a referida distribuição de tamanhos por meio de frequências simples normalizadas (X) e frequências acumuladas y e z.
b) Calcule os parâmetros dos modelos RRB e GGS que descrevem a referida distribuição de tamanhos. Qual deles se ajusta melhor?
c) Calcule o diâmetro médio de Sauter da amostra usando a distribuição de tamanhos discreta.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (resumo claro, sem resolver nada ainda).
  • O enunciado dá a massa retida em cada faixa de peneiras (Tyler alternada). As massas (em g) são:
    • faixa -16+24: 10{,}7
    • faixa -24+32: 52{,}1
    • faixa -32+42: 112{,}8
    • faixa -42+60: 245{,}3
    • faixa -60+80: 82{,}5
    • faixa -80+115: 26{,}6
    • faixa -115 (passante na 115): 10{,}0
  • Perguntas:
    a) Representar, num mesmo diagrama de escalas homogêneas, a distribuição por tamanhos através das frequências simples normalizadas X e das frequências acumuladas y e z.
    b) Ajustar os modelos RRB (Rosin–Rammler–Bennett) e GGS (Gaudin–Schuhmann), calcular seus parâmetros e dizer qual ajusta melhor.
    c) Calcular o diâmetro médio de Sauter ( D_{32} ) usando a distribuição discreta dada.
  • Informações/assunções necessárias que vou usar (já que o enunciado só deu mesh e massas):
    • Vou usar aberturas típicas da tabela padrão de peneiras Tyler (valores de abertura em mm): \text{mesh }16:\,1{,}18\\ \text{mm},\quad 24:\,0{,}71\\ \text{mm},\quad 32:\,0{,}50\\ \text{mm},
42:\,0{,}420\\ \text{mm},\quad 60:\,0{,}250\\ \text{mm},\quad 80:\,0{,}177\\ \text{mm},\quad 115:\,0{,}125\\ \text{mm}.
(Esses valores são valores padrão geralmente usados para peneiras Tyler; estou explicitando isso porque precisamos de diâmetros.)
  • Para a classe final “passante em 115” ( -115) há somente um limite superior 0{,}125\\ \text{mm}. Para poder usar um diâmetro representativo dessa classe, vou assumir um limite inferior típico igual a 0{,}063\\ \text{mm} (valor comumente usado como limite inferior prático em análises finas). Vou explicitar esta escolha quando usar os diâmetros representativos.
  • Para representar cada classe por um único diâmetro representativo vou usar a média geométrica da borda superior e inferior da classe: d_i = \sqrt{d_{i,\text{superior}}\cdot d_{i,\text{inferior}}}.

Passo 2

Montagem da tabela de frequências simples normalizadas X, e das frequências acumuladas y (acumulada a partir do mais grosso — retido cumulativo) e z (acumulada a partir do mais fino — passante cumulativo). Cálculos passo a passo.
  1. Somar todas as massas:
M_{\text{total}} = 10{,}7+52{,}1+112{,}8+245{,}3+82{,}5+26{,}6+10{,}0 = 540{,}0\\ \text{g}.
  1. Frequências simples normalizadas:
X_i=\dfrac{m_i}{M_{\text{total}}}.
Calculei cada uma (arredondando em notação decimal quando necessário):
  • faixa -16+24: X_1=\dfrac{10{,}7}{540}=0{,}0198148.
  • faixa -24+32: X_2=\dfrac{52{,}1}{540}=0{,}0964815.
  • faixa -32+42: X_3=\dfrac{112{,}8}{540}=0{,}2088889.
  • faixa -42+60: X_4=\dfrac{245{,}3}{540}=0{,}4542593.
  • faixa -60+80: X_5=\dfrac{82{,}5}{540}=0{,}1527778.
  • faixa -80+115: X_6=\dfrac{26{,}6}{540}=0{,}0492593.
  • faixa -115: X_7=\dfrac{10{,}0}{540}=0{,}0185185.
  1. Frequência acumulada y (retidos acumulados, do mais grosso para o mais fino):
y_1=X_1,\quad y_2=X_1+X_2,\quad y_3=X_1+X_2+X_3,\\ \ldots
Calculando:
y = [0{,}0198148,\\\ 0{,}1162963,\\\ 0{,}3251852,\\\ 0{,}7794445,\\\ 0{,}9322223,\\\ 0{,}9814816,\\\ 1{,}0000000].
  1. Frequência acumulada z (passante acumulada, do mais fino para o mais grosso; ou seja, fração mais fina que o diâmetro considerado):
z_7=X_7,\\ z_6=X_6+X_7,\\ \ldots,\\ z_1=\sum_{i=1}^7 X_i=1.
Calculando:
z = [1{,}0000000,\\\ 0{,}9801853,\\\ 0{,}8837038,\\\ 0{,}6748149,\\\ 0{,}2205556,\\\ 0{,}0677778,\\\ 0{,}0185185]
(aqui escrevi z_1 primeiro para corresponder a cada classe da mais grossa para a mais fina; se preferir a ordem do mais fino para o mais grosso, leia a lista inversa).
  1. Diâmetros representativos d_i (média geométrica das bordas) usados para plotagem e para cálculos posteriores:
  • para -16+24: d_1=\sqrt{1{,}18\cdot 0{,}71}=0{,}9154\\ \text{mm}.
  • para -24+32: d_2=\sqrt{0{,}71\cdot 0{,}50}=0{,}5958\\ \text{mm}.
  • para -32+42: d_3=\sqrt{0{,}50\cdot 0{,}420}=0{,}4583\\ \text{mm}.
  • para -42+60: d_4=\sqrt{0{,}420\cdot 0{,}250}=0{,}3241\\ \text{mm}.
  • para -60+80: d_5=\sqrt{0{,}250\cdot 0{,}177}=0{,}2104\\ \text{mm}.
  • para -80+115: d_6=\sqrt{0{,}177\cdot 0{,}125}=0{,}1487\\ \text{mm}.
  • para -115: assumi limite inferior 0{,}063\\ \text{mm}, assim d_7=\sqrt{0{,}125\cdot 0{,}063}=0{,}08875\\ \text{mm}.
Observação sobre o diagrama pedido em (a): um “diagrama de escalas homogêneas” normalmente significa escalas logarítmicas no eixo dos diâmetros (eixo x em escala log) para que as classes geométricas fiquem distribuídas uniformemente. Para plotar tudo num mesmo gráfico: no eixo x use \log d (ou escala log linear) e no eixo y coloque tanto X (barras) quanto y e z (curvas cumulativas). Como aqui não posso desenhar diretamente, dei todos os números necessários para construir esse gráfico.

Passo 3

Explicação didática e preparação para ajuste dos modelos (o “porquê” e a linearização que vou usar).
Vou ajustar dois modelos clássicos de granulometria:
  1. Modelo Gaudin–Schuhmann (GGS), função potência:
z(d) = \left(\dfrac{d}{d_0}\right)^{m},
onde z(d) é a fração em massa passante (acumulada) para diâmetro d, m é o expoente (forma) e d_0 é uma escala em mm. Para estimar m e d_0 faço a transformação logarítmica (linearização):
\ln z = m\ln d - m\ln d_0.
Isto é uma reta \ln z = a + m\ln d com a=-m\ln d_0. Posso então ajustar por regressão linear (x=\ln d,\;y=\ln z).
  1. Modelo Rosin–Rammler–Bennett (RRB), também chamado Rosin–Rammler:
z(d)=1-\exp\!\Big[-\Big(\dfrac{d}{\alpha}\Big)^{\beta}\Big],
onde \alpha é parâmetro de escala e \beta de forma. A linearização é:
\ln\big(-\ln(1-z)\big)=\beta\ln d - \beta\ln\alpha.
Ou seja, fazendo u=\ln\big(-\ln(1-z)\big) e x=\ln d temos u=b+\beta x com b=-\beta\ln\alpha. Ajustamos por regressão linear.
Procedimento prático que vou usar:
  • Usar os pares (\ln d_i,\\ \ln z_i) para GGS e (\ln d_i,\\ u_i) para RRB, excluindo o ponto com z=1 (porque \ln(1-z) indefinido). Assim uso as 6 classes onde 0<z<1.
  • Fazer regressão linear por mínimos quadrados para obter inclinação (que dá m ou \beta) e intercepto (que dá d_0 ou \alpha).
  • Calcular R² (coeficiente de determinação) na escala transformada para comparar o ajuste: maior R^2 → melhor ajuste na escala usada (isso é um indicativo prático).

Passo 4

Ajuste Gaudin–Schuhmann (GGS): cálculos passo a passo (linearização e regressão).
  • Dados usados (já calculados no Passo 2) para as 6 classes úteis ( i=2,\ldots,7, evitando z_1=1):
    • d_i em mm: 0{,}5958,\\\ 0{,}4583,\\\ 0{,}3241,\\\ 0{,}2104,\\\ 0{,}1487,\\\ 0{,}08875.
    • z_i: 0{,}9801853,\\\ 0{,}8837038,\\\ 0{,}6748149,\\\ 0{,}2205556,\\\ 0{,}0677778,\\\ 0{,}0185185.
  • Transformações:
    • x_i=\ln d_i e y_i=\ln z_i.
    • Cálculos (valores aproximados): \begin{array}{l|r|r} i & x_i=\ln d_i & y_i=\ln z_i\\hline 2 & -0{,}5175 & -0{,}0200\\\\ 3 & -0{,}7808 & -0{,}1236\\\\ 4 & -1{,}1277 & -0{,}3937\\\\ 5 & -1{,}5569 & -1{,}5100\\\\ 6 & -1{,}9066 & -2{,}6920\\\\ 7 & -2{,}4230 & -3{,}9870 \end{array}
  • Regressão linear por mínimos quadrados (fórmulas padrão): m=\dfrac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \quad a=\dfrac{\sum y_i - m\sum x_i}{n}.(aqui a é o intercepto tal que \ln z = a + m\ln d.)
  • Resultado numérico (cálculos mostrados no rascunho):
    • m \approx 2{,}185.
    • intercepto a \approx 1{,}571.
    • Da relação a=-m\ln d_0 deduz-se \ln d_0 = -\dfrac{a}{m}\quad\Rightarrow\quad d_0 \approx \exp\!\big(-\tfrac{1{,}571}{2{,}185}\big)\approx 0{,}488\\ \text{mm}.
  • Métrica de ajuste (R² na escala transformada \ln z vs \ln d):
    • R^2_{\text{GGS}}\approx 0{,}9485 (ou 94{,}85\% da variância explicada na escala log).
Portanto o modelo GGS ajustado é (expressão direta):
z(d)\approx\Big(\dfrac{d}{0{,}488\\ \text{mm}}\Big)^{2{,}185}.

Passo 5

Ajuste Rosin–Rammler–Bennett (RRB): cálculos passo a passo (linearização e regressão).
  • Usamos os mesmos d_i e z_i (excluindo z=1).
  • Transformação para linearizar: u_i=\ln\big(-\ln(1-z_i)\big),\quad x_i=\ln d_i.(porque \ln(-\ln(1-z))=\beta\ln d -\beta\ln\alpha.)
  • Valores calculados (aproximados): u \approx [1{,}365,\\\ 0{,}767,\\\ 0{,}1168,\\\ -1{,}392,\\\ -2{,}659,\\\ -3{,}981]correspondendo aos mesmos x_i do passo anterior.
  • Regressão linear u=b+\beta x por mínimos quadrados.
  • Resultados numéricos:
    • \beta \approx 2{,}90.
    • intercepto b\approx 3{,}0538.
    • Da relação b=-\beta\ln\alpha obtemos \ln\alpha = -\dfrac{b}{\beta}\quad\Rightarrow\quad \alpha \approx \exp\!\big(-\tfrac{3{,}0538}{2{,}90}\big)\approx 0{,}349\\ \text{mm}.
  • Métrica de ajuste:
    • R^2_{\text{RRB}}\approx 0{,}9896 (ou 98{,}96\% explicado na escala transformada).
Portanto o modelo RRB ajustado é:
z(d)\approx 1-\exp\!\Big[-\Big(\dfrac{d}{0{,}349\\ \text{mm}}\Big)^{2{,}90}\Big].

Passo 6

Comparação dos ajustes (interpretação e escolha do melhor modelo).
  • Comparei R^2 das regressões nas respectivas escalas lineares depois da transformação:
    • R^2_{\text{GGS}}\approx 0{,}9485.
    • R^2_{\text{RRB}}\approx 0{,}9896.
  • Interpretação prática: o RRB tem R^2 maior, ou seja, na transformação usada ele explica melhor a variabilidade dos pontos (o ajuste é visualmente e estatisticamente superior). Portanto, para estes dados a curva RRB dá um ajuste melhor que a GGS.
  • Observação física: RRB é bastante usada quando a distribuição apresenta uma “cauda” curta e uma forma que segue bem a função exponencial de potência; GGS é uma lei de potência simples e por vezes menos flexível em caudas.

Passo 7

Cálculo do diâmetro médio de Sauter D_{32} (definição, fórmula e cálculo numérico usando a distribuição discreta).
  • Definição e fórmula (explicação didática):
    • O diâmetro médio de Sauter D_{32} é a média ponderada por área superficial (é a razão entre o 3º momento e o 2º momento da distribuição): D_{32}=\dfrac{\sum_i X_i d_i^3}{\sum_i X_i d_i^2}.Aqui X_i é a fração em massa (assumimos densidade constante das partículas), e d_i é o diâmetro representativo da classe i.
    • Intuição: D_{32} dá o diâmetro equivalente que relaciona volume e superfície — muito usado em caracterização de partículas para processos de reação, superfície específica, etc.
  • Cálculo (usei os X_i e d_i do Passo 2). Primeiro calculei d_i^2 e d_i^3 e depois as somas ponderadas X_i d_i^2 e X_i d_i^3.
Tabela resumo dos termos (valores arredondados para apresentação; nos cálculos usei maior precisão):
\begin{array}{l|r|r|r} \text{classe} & d_i\\ (\text{mm}) & X_i d_i^2 & X_i d_i^3\\hline -16+24 & 0{,}9154 & 0{,}016606 & 0{,}015199\\\\ -24+32 & 0{,}5958 & 0{,}034242 & 0{,}020405\\\\ -32+42 & 0{,}4583 & 0{,}043887 & 0{,}020101\\\\ -42+60 & 0{,}3241 & 0{,}047697 & 0{,}015467\\\\ -60+80 & 0{,}2104 & 0{,}006767 & 0{,}001422\\\\ -80+115 & 0{,}1487 & 0{,}001089 & 0{,}000162\\\\ -115 & 0{,}08875& 0{,}000146 & 0{,}00001295 \end{array}
  • Somando: \sum_i X_i d_i^2 \approx 0{,}150434,\qquad \sum_i X_i d_i^3 \approx 0{,}072770.
  • Então D_{32}=\dfrac{0{,}072770}{0{,}150434}\approx 0{,}4839\\ \text{mm}.
Interpretação: D_{32}\approx0{,}484\\ \text{mm}. Esse valor é coerente com a escala típica da distribuição (o resultado está próximo do parâmetro de escala d_0 da lei GGS ajustada, que deu 0{,}488\\ \text{mm}).

Resposta

a) Frequências simples normalizadas X (fração em massa por classe) e acumuladas y (retidos cumul.) e z (passantes cumul.):
X = [0{,}0198148,\\\ 0{,}0964815,\\\ 0{,}2088889,\\\ 0{,}4542593,\\\ 0{,}1527778,\\\ 0{,}0492593,\\\ 0{,}0185185]
y = [0{,}0198148,\\\ 0{,}1162963,\\\ 0{,}3251852,\\\ 0{,}7794445,\\\ 0{,}9322223,\\\ 0{,}9814816,\\\ 1{,}0000000]
z = [1{,}0000000,\\\ 0{,}9801853,\\\ 0{,}8837038,\\\ 0{,}6748149,\\\ 0{,}2205556,\\\ 0{,}0677778,\\\ 0{,}0185185]
(para plotagem usei os diâmetros representativos d_i em mm: [0{,}9154,\\\ 0{,}5958,\\\ 0{,}4583,\\\ 0{,}3241,\\\ 0{,}2104,\\\ 0{,}1487,\\\ 0{,}08875] — média geométrica das bordas; para a última classe assumi limite inferior 0{,}063\\ \text{mm}.)
b) Parâmetros ajustados:
  • GGS (Gaudin–Schuhmann): m \approx 2{,}185,\\ d_0 \approx 0{,}488\\ \text{mm}. (modelo z(d)\approx (d/0{,}488)^{2{,}185}). R^2_{\text{GGS}}\approx0{,}9485.
  • RRB (Rosin–Rammler–Bennett): \beta \approx 2{,}90,\\ \alpha \approx 0{,}349\\ \text{mm}. (modelo z(d)\approx 1-\exp[-(d/0{,}349)^{2{,}90}]). R^2_{\text{RRB}}\approx0{,}9896.
Qual se ajusta melhor? O RRB ajusta melhor (maior R^2: 0{,}9896 vs 0{,}9485).
c) Diâmetro médio de Sauter (discreto):
D_{32}=\dfrac{\sum_i X_i d_i^3}{\sum_i X_i d_i^2}\approx 0{,}484\\ \text{mm}.

Exercícios relacionados