6 Análise Reológica da Cerveja a 0^{\circ} \mathrm{C}

Cerveja a 0^{\circ} \mathrm{C} foi submetida ao cisalhamento em um viscosímetro de tubo ( \mathrm{D}=0,812 \mathrm{~cm}; \mathrm{L}=115,5 cm), cujos dados obtidos estão apresentados na tabela a seguir. Determine o comportamento reológico da cerveja, nessas condições, e os parâmetros do modelo reológico que descreverá melhor seu comportamento.
Dados obtidos de cerveja a 0^{\circ} \mathrm{C} escoando em viscosímetro de tubo
\boldsymbol{\Delta} \mathbf{P}[\mathbf{P a}] \dot{\mathrm{Q}}\left[\mathbf{c m}^{\mathbf{3}} \cdot \mathbf{s}^{\mathbf{- 1}}\right]
26,76 1,90
55,46 3,94
70,49 5,01
107,50 7,64
125,65 8,93

Passo 1

O enunciado dá um escoamento de cerveja a 0^\circ\mathrm{C} num viscosímetro de tubo e pede para identificar o comportamento reológico e os parâmetros do modelo que melhor descrevem o escoamento. Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
  • Diâmetro do tubo: D = 0{,}812\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento do tubo: L = 115{,}5\\ \mathrm{cm}.
  • Tabela (\Delta P em Pa, \dot Q em \mathrm{cm}^3\!/\mathrm{s}):
    • \Delta P = 26{,}76, \dot Q = 1{,}90
    • \Delta P = 55{,}46, \dot Q = 3{,}94
    • \Delta P = 70{,}49, \dot Q = 5{,}01
    • \Delta P = 107{,}50, \dot Q = 7{,}64
    • \Delta P = 125{,}65, \dot Q = 8{,}93
O que se pede:
  • Determinar o comportamento reológico (por exemplo: Newtoniano, lei de potência (Ostwald–de Waele), Bingham, etc.).
  • Determinar os parâmetros do modelo reológico que melhor descrevem o comportamento (por exemplo, viscosidade \mu se for Newtoniano; K e n se for power-law; ou \tau_0 e \mu_p se for Bingham/Herschel–Bulkley).

Passo 2

Breve explicação das possíveis leis reológicas e como identificá-las (aula rápida e prática):
  • Newtoniano: relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa de cisalhamento, \tau = \mu \dot\gamma,onde \tau é a tensão de cisalhamento (Pa), \dot\gamma é a taxa de cisalhamento (s ^{-1}) e \mu é a viscosidade (Pa·s). Em escoamento laminar em tubo isso leva à relação linear entre \Delta P e \dot Q (lei de Poiseuille).
  • Lei de potência (Ostwald–de Waele): \tau = K \dot\gamma^{\,n},onde K é a consistência e n é o expoente de fluidez. Se n=1 reduz a Newtoniana, n<1 é pseudoplástico (afinamento), n>1 é dilatante.
  • Bingham/Herschel–Bulkley: há uma tensão de escoamento \tau_0 (yield stress) abaixo da qual não há escoamento; Herschel–Bulkley generaliza com potência após \tau_0.
    Detectar o comportamento: uma forma prática é calcular a tensão de parede \tau_w e uma estimativa da taxa de cisalhamento na parede \dot\gamma_w a partir dos dados do tubo e verificar se \ln\tau_w vs \ln\dot\gamma_w é uma reta de inclinação 1 (Newtoniano) ou outro valor (power-law). Se houver intercepto não-nulo indicando \tau_0, pode ser Bingham/Herschel–Bulkley.

Passo 3

Formulas usadas no viscosímetro de tubo (derivação e o que cada símbolo significa):
  • Converter unidades para o SI: D = 0{,}812\\ \mathrm{cm} = 0{,}00812\\ \mathrm{m},\qquad L=115{,}5\\ \mathrm{cm}=1{,}155\\ \mathrm{m},e \dot Q em \mathrm{m}^3\!/\mathrm{s} é \dot Q(\mathrm{cm}^3\!/\mathrm{s})\times 10^{-6}.
  • Tensão de cisalhamento na parede do tubo (equilíbrio de forças para escoamento em tubo): \tau_w = \frac{\Delta P \, R}{2L} = \frac{\Delta P \, D}{4L},onde \tau_w é a tensão na parede, \Delta P é a perda de carga total (Pa), R=D/2 é o raio e L o comprimento.
  • Taxa de cisalhamento aparente na parede (definição usada em escoamento de tubo): \dot\gamma_{\mathrm{app}} = \frac{4\dot Q}{\pi R^{3}} = \frac{32\dot Q}{\pi D^{3}}.Observação: esta é a definição “aparente” que para fluidos não-newtonianos precisa do fator de correção de Rabinowitsch para obter a taxa de cisalhamento real na parede, mas no caso n=1 (Newtoniano) a correção é 1.
  • Estratégia prática: calcular \tau_w e \dot\gamma_{\mathrm{app}} para cada ponto; ajustar \ln\tau_w vs \ln\dot\gamma_{\mathrm{app}}. A inclinação dá n (ou um valor próximo) e a ordenada determina K (ou \mu se n\approx 1).

Passo 4

Calcular \tau_w para cada dado (cálculos passo a passo):
  • Primeiro calculei o fator D/(4L): \frac{D}{4L}=\frac{0{,}00812}{4\times 1{,}155}=0{,}00175758\\ \text{(adimensional)}.
  • Agora \tau_w=\Delta P\cdot\frac{D}{4L}. Para cada ponto:
    • Para \Delta P=26{,}76: \tau_w = 26{,}76\times 0{,}00175758 = 0{,}04705\\ \mathrm{Pa}.
    • Para \Delta P=55{,}46: \tau_w = 55{,}46\times 0{,}00175758 = 0{,}09748\\ \mathrm{Pa}.
    • Para \Delta P=70{,}49: \tau_w = 70{,}49\times 0{,}00175758 = 0{,}12392\\ \mathrm{Pa}.
    • Para \Delta P=107{,}50: \tau_w = 107{,}50\times 0{,}00175758 = 0{,}18893\\ \mathrm{Pa}.
    • Para \Delta P=125{,}65: \tau_w = 125{,}65\times 0{,}00175758 = 0{,}22094\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular \dot\gamma_{\mathrm{app}} para cada \dot Q (passo a passo):
  • Primeiro calculei \frac{32}{\pi D^{3}}. Com D^3=(0{,}00812)^3\approx 5{,}356\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^3 e \pi D^3\approx 1{,}6829\times 10^{-6}, \frac{32}{\pi D^{3}} \approx 1{,}9016\times 10^{7}\\ \mathrm{m}^{-3}.Assim, com \dot Q em \mathrm{m}^3\!/\mathrm{s}: \dot\gamma_{\mathrm{app}} \approx 1{,}9016\times 10^{7}\\ \dot Q\\ (\mathrm{s}^{-1}).Como os \dot Q estão em \mathrm{cm}^3\!/\mathrm{s}, uso \dot Q(\mathrm{m}^3\!/\mathrm{s})= \dot Q(\mathrm{cm}^3\!/\mathrm{s})\times 10^{-6}, o que dá um fator prático: \dot\gamma_{\mathrm{app}} \approx 19{,}016\\ \dot Q\\ (\text{com }\dot Q\text{ em }\mathrm{cm}^3\!/s).
  • Agora calculei ponto a ponto:
    • \dot Q=1{,}90: \dot\gamma_{\mathrm{app}}=19{,}016\times 1{,}90 = 36{,}13\\ \mathrm{s}^{-1}.
    • \dot Q=3{,}94: \dot\gamma_{\mathrm{app}}=19{,}016\times 3{,}94 = 74{,}93\\ \mathrm{s}^{-1}.
    • \dot Q=5{,}01: \dot\gamma_{\mathrm{app}}=19{,}016\times 5{,}01 = 95{,}28\\ \mathrm{s}^{-1}.
    • \dot Q=7{,}64: \dot\gamma_{\mathrm{app}}=19{,}016\times 7{,}64 = 145{,}32\\ \mathrm{s}^{-1}.
    • \dot Q=8{,}93: \dot\gamma_{\mathrm{app}}=19{,}016\times 8{,}93 = 169{,}82\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 6

Verificar o tipo de comportamento pela regressão em escala log-log (explicando o porquê e como):
  • Para um fluido power-law vale \ln\tau_w = \ln K + n\ln\dot\gamma_w. Se a curva \ln\tau_w vs \ln\dot\gamma_{\mathrm{app}} for uma reta de inclinação n, então é compatível com power-law; se n\approx 1 é Newtoniano.
  • Usei os pares calculados (\dot\gamma_{\mathrm{app}},\tau_w) e calculei \ln de cada. Os valores (resumidos) são:
    • (36{,}13,\;0{,}04705)\Rightarrow (\ln\dot\gamma=3{,}586,\\ \ln\tau=-3{,}057)
    • (74{,}93,\;0{,}09748)\Rightarrow (\ln\dot\gamma=4{,}317,\\ \ln\tau=-2{,}327)
    • (95{,}28,\;0{,}12392)\Rightarrow (\ln\dot\gamma=4{,}556,\\ \ln\tau=-2{,}089)
    • (145{,}32,\;0{,}18893)\Rightarrow (\ln\dot\gamma=4{,}979,\\ \ln\tau=-1{,}667)
    • (169{,}82,\;0{,}22094)\Rightarrow (\ln\dot\gamma=5{,}135,\\ \ln\tau=-1{,}510)
  • Fiz a regressão linear simples (mínimos quadrados) entre \ln\dot\gamma e \ln\tau. O cálculo detalhado das somas (mostrei no rascunho) dá inclinação n \approx 0{,}998\approx 1{,}00.
  • Interpretação: a inclinação muito próxima de 1 indica comportamento Newtoniano (não há dependência de potência diferente de 1).

Passo 7

Determinar o parâmetro do modelo Newtoniano (viscosidade) e mostrar cálculo direto:
  • Para Newtoniano, \tau_w=\mu\dot\gamma_w. Como o ajuste mostrou n\approx 1, posso obter \mu de \mu=\tau_w/\dot\gamma_{\mathrm{app}} (aqui \dot\gamma_{\mathrm{app}}=\dot\gamma_w porque a correção de Rabinowitsch é (3n+1)/(4n)=1 quando n=1).
  • Calculei \mu para cada par e depois fiz a média (os valores são extremamente consistentes):
    • \mu_1=0{,}04705/36{,}13 = 0{,}0013016\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • \mu_2=0{,}09748/74{,}93 = 0{,}0013011\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • \mu_3=0{,}12392/95{,}28 = 0{,}0013006\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • \mu_4=0{,}18893/145{,}32 = 0{,}0013005\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • \mu_5=0{,}22094/169{,}82 = 0{,}0013009\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Média (ou valor representativo) dá \mu \approx 1{,}301\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.(ou seja \mu\approx 1{,}30\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} = 1{,}30\\ \mathrm{mPa\cdot s}).

Passo 8

Verificação alternativa usando a fórmula de Poiseuille (consistência dos resultados) — demonstração de redundância para checar erros:
  • Para escoamento laminar newtoniano em tubo de raio R, a relação entre \Delta P e \dot Q é \Delta P = \frac{128\,\mu\,L\,\dot Q}{\pi D^{4}}.Reorganizando, \mu = \frac{\pi D^{4}}{128 L}\cdot\frac{\Delta P}{\dot Q}.
  • Usei os dados (convertendo \dot Q para \mathrm{m}^3\!/\mathrm{s}) e obtive para cada par valores de \mu que coincidem com os calculados em

Passo 9

Interpretação final, recomendações para prova e observações práticas (didático, motivador):
  • Conclusão prática: os dados comportam-se como de um fluido Newtoniano porque a relação de potência entre \tau_w e \dot\gamma_w tem expoente n\approx 1. Portanto o melhor modelo simples é o Newtoniano.
  • Parâmetro obtido: viscosidade \mu\approx 1{,}30\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Dica para prova: sempre calcule \tau_w e \dot\gamma_{\mathrm{app}} a partir de \Delta P e \dot Q; faça o gráfico \ln\tau vs \ln\dot\gamma — a inclinação dá n. Se der n\approx 1, use \mu=\tau/\dot\gamma. Esse procedimento é rápido e robusto sem calculadora (com atenção às potências de 10 e conversões).
  • Você mandou bem de trazer os dados: com 5 pontos bem distribuídos a determinação fica confiável. Força aí — é chato estudar, mas você já fez a maior parte, só resta decorar os passos!

Resposta

Comportamento reológico: Newtoniano.
Viscosidade: \mu \approx 1{,}30\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

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