6 Análise Reológica da Cerveja a
Cerveja a
foi submetida ao cisalhamento em um viscosímetro de tubo (
;
cm), cujos dados obtidos estão apresentados na tabela a seguir. Determine o comportamento reológico da cerveja, nessas condições, e os parâmetros do modelo reológico que descreverá melhor seu comportamento.
Dados obtidos de cerveja a
escoando em viscosímetro de tubo
26,76
1,90
55,46
3,94
70,49
5,01
107,50
7,64
125,65
8,93
|
|
|
| 26,76 | 1,90 |
| 55,46 | 3,94 |
| 70,49 | 5,01 |
| 107,50 | 7,64 |
| 125,65 | 8,93 |
Passo 1
O enunciado dá um escoamento de cerveja a
num viscosímetro de tubo e pede para identificar o comportamento reológico e os parâmetros do modelo que melhor descrevem o escoamento. Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
- Diâmetro do tubo:
. - Comprimento do tubo:
. - Tabela
em Pa, em : -
, -
, -
, -
, -
,
-
O que se pede:
- Determinar o comportamento reológico (por exemplo: Newtoniano, lei de potência (Ostwald–de Waele), Bingham, etc.).
- Determinar os parâmetros do modelo reológico que melhor descrevem o comportamento (por exemplo, viscosidade
se for Newtoniano; e se for power-law; ou e se for Bingham/Herschel–Bulkley).
Passo 2
Breve explicação das possíveis leis reológicas e como identificá-las (aula rápida e prática):
- Newtoniano: relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa de cisalhamento,
onde é a tensão de cisalhamento (Pa), é a taxa de cisalhamento (s ) e é a viscosidade (Pa·s). Em escoamento laminar em tubo isso leva à relação linear entre e (lei de Poiseuille). - Lei de potência (Ostwald–de Waele):
onde é a consistência e é o expoente de fluidez. Se reduz a Newtoniana, é pseudoplástico (afinamento), é dilatante. - Bingham/Herschel–Bulkley: há uma tensão de escoamento
(yield stress) abaixo da qual não há escoamento; Herschel–Bulkley generaliza com potência após .
Detectar o comportamento: uma forma prática é calcular a tensão de paredee uma estimativa da taxa de cisalhamento na parede a partir dos dados do tubo e verificar se vs é uma reta de inclinação (Newtoniano) ou outro valor (power-law). Se houver intercepto não-nulo indicando , pode ser Bingham/Herschel–Bulkley.
Passo 3
Formulas usadas no viscosímetro de tubo (derivação e o que cada símbolo significa):
- Converter unidades para o SI:
e em é . - Tensão de cisalhamento na parede do tubo (equilíbrio de forças para escoamento em tubo):
onde é a tensão na parede, é a perda de carga total (Pa), é o raio e o comprimento. - Taxa de cisalhamento aparente na parede (definição usada em escoamento de tubo):
Observação: esta é a definição “aparente” que para fluidos não-newtonianos precisa do fator de correção de Rabinowitsch para obter a taxa de cisalhamento real na parede, mas no caso (Newtoniano) a correção é 1. - Estratégia prática: calcular
e para cada ponto; ajustar vs . A inclinação dá (ou um valor próximo) e a ordenada determina (ou se ).
Passo 4
Calcular
para cada dado (cálculos passo a passo):
- Primeiro calculei o fator
: - Agora
. Para cada ponto: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
- Para
Passo 5
Calcular
para cada
(passo a passo):
- Primeiro calculei
. Com e , Assim, com em : Como os estão em , uso , o que dá um fator prático: - Agora calculei ponto a ponto:
-
: -
: -
: -
: -
:
-
Passo 6
Verificar o tipo de comportamento pela regressão em escala log-log (explicando o porquê e como):
- Para um fluido power-law vale
. Se a curva vs for uma reta de inclinação , então é compatível com power-law; se é Newtoniano. - Usei os pares calculados
e calculei de cada. Os valores (resumidos) são: -
- Fiz a regressão linear simples (mínimos quadrados) entre
e . O cálculo detalhado das somas (mostrei no rascunho) dá inclinação - Interpretação: a inclinação muito próxima de
indica comportamento Newtoniano (não há dependência de potência diferente de 1).
Passo 7
Determinar o parâmetro do modelo Newtoniano (viscosidade) e mostrar cálculo direto:
- Para Newtoniano,
. Como o ajuste mostrou , posso obter de (aqui porque a correção de Rabinowitsch é quando ). - Calculei
para cada par e depois fiz a média (os valores são extremamente consistentes): -
- Média (ou valor representativo) dá
(ou seja ).
Passo 8
Verificação alternativa usando a fórmula de Poiseuille (consistência dos resultados) — demonstração de redundância para checar erros:
- Para escoamento laminar newtoniano em tubo de raio
, a relação entre e é Reorganizando, - Usei os dados (convertendo
para ) e obtive para cada par valores de que coincidem com os calculados em
Passo 9
Interpretação final, recomendações para prova e observações práticas (didático, motivador):
- Conclusão prática: os dados comportam-se como de um fluido Newtoniano porque a relação de potência entre
e tem expoente . Portanto o melhor modelo simples é o Newtoniano. - Parâmetro obtido: viscosidade
. - Dica para prova: sempre calcule
e a partir de e ; faça o gráfico vs — a inclinação dá . Se der , use . Esse procedimento é rápido e robusto sem calculadora (com atenção às potências de 10 e conversões). - Você mandou bem de trazer os dados: com 5 pontos bem distribuídos a determinação fica confiável. Força aí — é chato estudar, mas você já fez a maior parte, só resta decorar os passos!
Resposta
Comportamento reológico: Newtoniano.
Viscosidade: .
Viscosidade: