Deseja-se misturar acido acético e agua em batelada. Testou-se, em laboratório, um sistema de agitação utilizando-se um impelidor do tipo turbina de pás retas. Os dados do sistema de agitalão em laboratório (menor escala) são: \mathrm{T}=0,25 \mathrm{~m}; \mathrm{T} / \mathrm{D}=\mathrm{H} / \mathrm{D}=3 ; \mathrm{h} / \mathrm{D}=1 ; \mathrm{W} / \mathrm{D}=0,1. As características para a melhor condição encontrada no laboratório foram: \mathrm{Wu}=3,7 \mathrm{~W}; \mathrm{N}=8 \mathrm{rps}; Npo=constante para NRe \geq 2000. Projete um sistema industrial para misturar 4 m 3 de acido acético com agua através do sistema de agitação estudado em laboratório.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Objetivo: projetar um sistema industrial (geom. similar ao de laboratório) para misturar 4\\ \mathrm{m^{3}} de ácido acético + água usando o mesmo tipo de impelidor e as mesmas razões geométricas encontradas no laboratório.
  • Dados do laboratório (peguei todos estes valores do enunciado):
    • T_{\rm lab}=0,25\\ \mathrm{m} (diâmetro do tanque em laboratório).
    • T/D = H/D = 3.
    • h/D = 1.
    • W/D = 0,1.
    • Potência medida no laboratório: W_u = 3,7\\ \mathrm{W}.
    • Rotação no laboratório: N_{\rm lab}=8\\ \mathrm{rps} (rotações por segundo).
    • Observação: o número de potência N_P é constante para Re \ge 2000 (regime turbulento).
  • Dados assumidos (necessários para calcular Reynolds e potência; são aproximações físicas razoáveis para mistura água + ácido acético diluído):
    • Densidade: \rho = 1000\\ \mathrm{kg\;m^{-3}}.
    • Viscosidade dinâmica: \mu = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\\ s}.
  • Perguntas implícitas que vou responder:
    1. Quais as dimensões do tanque e do impelidor na escala industrial ( T, D, H, h, W)?
    2. Qual a rotação N a usar na escala industrial (em \mathrm{rps} e \mathrm{rpm})?
    3. Qual a potência de acionamento necessária (e torque no eixo)?
    4. Verificar se a operação estará em regime turbulento (pra que N_P seja constante).
  • Observação sobre método que vou usar (não é a resolução): vou manter semelhança geométrica (mesmas razões T/D, H/D, h/D, W/D) e adotar como critério de escala a igualdade da potência específica (potência por unidade de volume), isto é, manter P/V constante entre escala de laboratório e escala industrial — isso é uma escolha usual quando se quer preservar a mesma intensidade de mistura/turbulência no processo. Em seguida mostro a matemática que leva a isso e calculo N, P etc.

Passo 2

Calcular o diâmetro do tanque industrial a partir do volume desejado, assumindo tanque cilíndrico e semelhança geométrica (no laboratório H=T, portanto também assumimos H=T na planta industrial).
  • Fórmula do volume de um cilindro com altura H e diâmetro do tanque T:
V = \frac{\pi}{4}\,T^{2}H.
  • Como no arranjo de laboratório vale H=T, então na planta também teremos H=T e
V = \frac{\pi}{4}\,T^{3}.
  • Isolando T:
T = \left(\frac{4V}{\pi}\right)^{1/3}.
  • Substituindo V=4\\ \mathrm{m^{3}}:
T = \left(\frac{4\cdot 4}{\pi}\right)^{1/3}=\left(\frac{16}{\pi}\right)^{1/3}.
  • Calculando numericamente:
T \approx 1{,}72\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Determinar as demais dimensões por semelhança geométrica usando as razões fornecidas ( T/D = H/D = 3, h/D=1, W/D=0{,}1).
  • Impelidor (diâmetro) D:
D = \frac{T}{3} \quad\Rightarrow\quad D \approx \frac{1{,}72}{3} \approx 0{,}573\\ \mathrm{m}.
  • Altura de líquido H:
H = T \approx 1{,}72\\ \mathrm{m}.
  • Folga inferior (clearance) h:
h = D \approx 0{,}573\\ \mathrm{m}.
  • Largura das pás W:
W = 0{,}1\;D \approx 0{,}0573\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Apresentar a lei de escala para potência (número de potência) e definir variáveis — aula curta sobre o conceito.
  • Em mistura por agitação, a potência absorvida pelo fluido pode ser escrita (quando há semelhança geométrica e número de potência constante) como
P = N_P\,\rho\,N^{3}\,D^{5}.
Explicando cada termo:
  • P é a potência absorvida pelo fluido (W).
  • N_P é o número de potência (adimensional), característico do tipo de impelidor e regime de escoamento.
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg\,m^{-3}}).
  • N é a velocidade de rotação em \mathrm{s^{-1}} (rps).
  • D é o diâmetro do impelidor (m).
  • O número de potência N_P é praticamente constante em regime turbulento (para Reynolds do impelidor suficientemente alto), por isso a observação do enunciado que N_P é constante para Re \ge 2000.
  • Relação entre potências nas duas escalas (lab e industrial), assumindo mesmo N_P e mesma \rho:
\frac{P_{\rm ind}}{P_{\rm lab}} = \left(\frac{N_{\rm ind}}{N_{\rm lab}}\right)^{3}\left(\frac{D_{\rm ind}}{D_{\rm lab}}\right)^{5}.

Passo 5

Escolha do critério de escala e dedução da rotação industrial N_{\rm ind}.
  • Critério adotado: manter a mesma potência específica (potência por volume), isto é
\frac{P_{\rm ind}}{V_{\rm ind}} = \frac{P_{\rm lab}}{V_{\rm lab}}.
Motivação simples e prática: manter P/V constante preserva, em primeira aproximação, a intensidade de mistura (turbulência por unidade de volume), e é um critério comum em escala de misturadores industriais.
  • Usando semelhança geométrica, os volumes são proporcionais a D^{3} (pois T/D constante implica T\propto D e volume \propto T^{3}\propto D^{3}). Logo
\frac{P_{\rm ind}}{P_{\rm lab}} = \frac{V_{\rm ind}}{V_{\rm lab}} = \left(\frac{D_{\rm ind}}{D_{\rm lab}}\right)^{3}.
  • Com a lei P\propto N^{3}D^{5} segue
\left(\frac{N_{\rm ind}}{N_{\rm lab}}\right)^{3}\left(\frac{D_{\rm ind}}{D_{\rm lab}}\right)^{5} = \left(\frac{D_{\rm ind}}{D_{\rm lab}}\right)^{3}.
  • Cancelando termos:
\left(\frac{N_{\rm ind}}{N_{\rm lab}}\right)^{3} = \left(\frac{D_{\rm ind}}{D_{\rm lab}}\right)^{-2} \quad\Rightarrow\quad \frac{N_{\rm ind}}{N_{\rm lab}} = \left(\frac{D_{\rm ind}}{D_{\rm lab}}\right)^{-2/3}.
  • Assim, a rotação escala como N\propto D^{-2/3} quando se mantém pot./volume constante.

Passo 6

Calcular a rotação industrial N_{\rm ind} numericamente.
  • Primeiro calcular o diâmetro do impelidor em laboratório D_{\rm lab}:
D_{\rm lab} = \frac{T_{\rm lab}}{3} = \frac{0{,}25}{3} = 0{,}083333\\ \mathrm{m}.
  • Razão de diâmetros:
\frac{D_{\rm ind}}{D_{\rm lab}} \approx \frac{0{,}573}{0{,}083333} \approx 6{,}88.
  • Aplicando a relação para N_{\rm ind}:
N_{\rm ind} = N_{\rm lab}\left(\frac{D_{\rm ind}}{D_{\rm lab}}\right)^{-2/3} = 8\cdot(6{,}88)^{-2/3}.
  • Calculando numericamente:
N_{\rm ind} \approx 2{,}21\\ \mathrm{rps}.
  • Convertendo para rotações por minuto ( \mathrm{rpm}):
N_{\rm ind} \approx 2{,}21\\ \mathrm{rps}\times 60 \approx 133\\ \mathrm{rpm}.

Passo 7

Calcular a potência industrial P_{\rm ind} (usando P/V constante) e conferir pela fórmula do número de potência.
  • Volume do tanque de laboratório (usei T_{\rm lab}=H_{\rm lab}=0{,}25\\ \mathrm{m}):
V_{\rm lab} = \frac{\pi}{4}\,T_{\rm lab}^{2}H_{\rm lab} = \frac{\pi}{4}\,(0{,}25)^{3}\approx 0{,}01227\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Mantendo P/V constante:
P_{\rm ind} = P_{\rm lab}\cdot\frac{V_{\rm ind}}{V_{\rm lab}} = 3{,}7\cdot\frac{4}{0{,}01227185}\\ \mathrm{W}.
  • Calculando numericamente:
P_{\rm ind} \approx 1{,}21\times10^{3}\\ \mathrm{W} \approx 1207\\ \mathrm{W}.
  • Verificação via número de potência N_P: primeiro estimar N_P a partir do ensaio de laboratório:
N_P = \frac{P_{\rm lab}}{\rho\,N_{\rm lab}^{3}\,D_{\rm lab}^{5}}.
Substituindo valores ( \rho=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, P_{\rm lab}=3{,}7\\ \mathrm{W}, N_{\rm lab}=8\\ \mathrm{rps}, D_{\rm lab}=0{,}083333\\ \mathrm{m}) obtém-se
N_P \approx 1{,}80\\ \text{(adimensional)}.
  • Agora calcular P_{\rm ind} via P = N_P\,\rho\,N_{\rm ind}^{3}\,D_{\rm ind}^{5} com os valores industriais obtidos; esse cálculo confirma P_{\rm ind}\approx1207\\ \mathrm{W} (consistência verificada).

Passo 8

Calcular o torque no eixo e verificar o número de Reynolds do impelidor (garantir turbulência).
  • Torque M a partir da potência:
M = \frac{P}{2\pi N}.
Substituindo P_{\rm ind}\approx1207\\ \mathrm{W} e N_{\rm ind}\approx2{,}214\\ \mathrm{rps}:
M_{\rm ind} \approx \frac{1207}{2\pi\cdot 2{,}214}\approx 86{,}8\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Número de Reynolds do impelidor:
Re = \frac{\rho\,N\,D^{2}}{\mu}.
  • Laboratório:
Re_{\rm lab} = \frac{1000\cdot 8\cdot(0{,}08333)^{2}}{1{,}0\times10^{-3}} \approx 5{,}56\times10^{4}.
  • Industrial:
Re_{\rm ind} = \frac{1000\cdot 2{,}214\cdot(0{,}573)^{2}}{1{,}0\times10^{-3}} \approx 7{,}28\times10^{5}.
  • Conclusão: ambos muito maiores que 2000, portanto regime turbulento e N_P constante é uma hipótese válida.

Passo 9

Recomendações práticas finais e margem de segurança para escolha do motor.
  • Potência calculada necessária no eixo: P_{\rm ind}\approx 1{,}21\\ \mathrm{kW}.
  • Recomenda-se aplicar um fator de segurança (por exemplo 1{,}25 a 1{,}5) ao selecionar o motor para cobrir perdas (engrenagem, acoplamento, picos) e para evitar trabalho contínuo no limite. Com fator 1{,}5, potência do motor recomendada:
P_{\rm motor} \approx 1{,}5\cdot 1{,}21\\ \mathrm{kW} \approx 1{,}81\\ \mathrm{kW}.
  • Escolha prática: motor comercial de 2{,}0\\ \mathrm{kW} a 1800\\ \mathrm{rpm} com redução (se necessário) para obter 133\\ \mathrm{rpm} no eixo do impelidor; ou motor de 2{,}0\\ \mathrm{kW} com transmissão adequada (multiplicador/redução) conforme arranjo mecânico.

Resposta

T \approx 1{,}72\\ \mathrm{m}
D \approx 0{,}573\\ \mathrm{m}
H \approx 1{,}72\\ \mathrm{m}
h \approx 0{,}573\\ \mathrm{m}
W \approx 0{,}0573\\ \mathrm{m}
N_{\rm ind} \approx 2{,}21\\ \mathrm{rps} \approx 133\\ \mathrm{rpm}
P_{\rm ind} \approx 1{,}21\\ \mathrm{kW}
M_{\rm ind} \approx 86{,}8\\ \mathrm{N\cdot m}
Recomendação de motor: \approx 2{,}0\\ \mathrm{kW} (aproximadamente; aplicar margens de projeto)

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