A tabela a seguir apresenta a distribuição conjunta das frequências das variáveis X (sexo) e Y (carreira escolhida) para uma amostra de 200 alunos de Física e Ciências Sociais.
|l|l|l|l| hline $Y backslash X$ & Masculino & Feminino & Total hline Física & 100 & 20 & 120 hline Ciências Sociais & 40 & 40 & 80 hline Total & 140 & 60 & 200 hline Masculino Feminino Total
Física 100 20 120
Ciências Sociais 40 40 80
Total 140 60 200
Com base nesses dados, determine se existe uma associação entre as variáveis X (sexo) e Y (carreira escolhida). Utilize o teste qui-quadrado de independência para verificar a hipótese nula de que as variáveis são independentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra como 200 alunos de Física e Ciências Sociais se distribuem de acordo com o sexo (Masculino e Feminino). A questão quer saber se existe uma relação entre o sexo dos alunos e a carreira que eles escolheram. Para isso, vamos usar o teste qui-quadrado de independência, que ajuda a verificar se duas variáveis categóricas estão relacionadas ou se são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a tabela que temos:
[
|l|l|l|l| hline $Y backslash X$ & Masculino & Feminino & Total hline Física & 100 & 20 & 120 hline Ciências Sociais & 40 & 40 & 80 hline Total & 140 & 60 & 200 hline Masculino Feminino Total
Física 100 20 120
Ciências Sociais 40 40 80
Total 140 60 200
]
Aqui, X representa o sexo e Y a carreira escolhida. Queremos ver se a distribuição de carreira é independente do sexo.

Passo 3

Para aplicar o teste qui-quadrado de independência, precisamos calcular as frequências esperadas para cada célula da tabela, assumindo que não há associação entre sexo e carreira. A fórmula para a frequência esperada ( E) é:
E = (Total da linha) times (Total da coluna)Total >=ral

Passo 4

Vamos calcular as frequências esperadas para cada célula:
  • Física & Masculino:
E = 120 times 140200 = 16800200 = 84
  • Física & Feminino:
E = 120 times 60200 = 7200200 = 36
  • Ciências Sociais & Masculino:
E = 80 times 140200 = 11200200 = 56
  • Ciências Sociais & Feminino:
E = 80 times 60200 = 4800200 = 24

Passo 5

Agora, vamos montar a tabela com as frequências observadas ( ) e esperadas ( ):
[
Masculino ( ) Feminino ( ) Total
Física 100 20 120
84 36
Ciências Sociais 40 40 80
56 24
Total 140 60 200
]

Passo 6

Com as frequências observadas e esperadas, vamos calcular o qui-quadrado usando a fórmula:
chi^2 = sum (O - E)^2E
Vamos calcular para cada célula:
  • Física & Masculino:
(100 - 84)^284 = 25684 approx 3,05
  • Física & Feminino:
(20 - 36)^236 = 25636 approx 7,11
  • Ciências Sociais & Masculino:
(40 - 56)^256 = 25656 approx 4,57
  • Ciências Sociais & Feminino:
(40 - 24)^224 = 25624 approx 10,67

Passo 7

Agora, somamos todos esses valores para obter o valor total do qui-quadrado:
chi^2 approx 3,05 + 7,11 + 4,57 + 10,67 = 25,40

Passo 8

Para saber se esse valor de chi^2 é significativo, precisamos comparar com o valor crítico da distribuição qui-quadrado. Para isso, definimos o nível de significância (geralmente 5%) e calculamos os graus de liberdade (df):
df = (número de linhas - 1) times (número de colunas - 1) = (2-1) times (2-1) = 1 úú
Consultando a tabela qui-quadrado para df = 1 e nível de 5%, o valor crítico é aproximadamente 3,84.

Passo 9

Como nosso valor calculado de chi^2 (25,40) é maior que o valor crítico (3,84), rejeitamos a hipótese nula de independência.

Resposta

Existe uma associação significativa entre o sexo dos alunos e a carreira escolhida, ou seja, as variáveis são dependentes.

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