Em uma fábrica de parafusos, as máquinas
e
produzem
e
do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina
e
, respectivamente, são de parafusos defeituosos.
(a) Escolhendo-se ao acaso um parafuso da produção total, qual a probabilidade do mesmo ser defeituoso?
(b) Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que é defeituoso. Qual é a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido pela máquina
?
(a) Escolhendo-se ao acaso um parafuso da produção total, qual a probabilidade do mesmo ser defeituoso?
(b) Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que é defeituoso. Qual é a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido pela máquina
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Probabilidade que envolve máquinas produtoras e a chance de pararfusos serem defeituosos. Precisamos calcular a probabilidade de um parafuso ser defeituoso no geral e, depois, a probabilidade de que um parafuso defeituoso venha especificamente da máquina
. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade total e probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um parafuso ser defeituoso, considerando que as máquinas
,
e
têm diferentes percentuais de produção e defeitos.
As máquinas produzem:
-
: da produção total, com de defeitos. -
: da produção total, com de defeitos. -
: da produção total, com de defeitos.
A probabilidade total de um parafuso ser defeituoso é a soma das probabilidades de vir de cada máquina multiplicadas pela chance de ser defeituoso dessa máquina. Isso é dado por:
Passo 3
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 4
Agora, para a segunda parte, queremos saber a probabilidade de que, sabendo que um parafuso é defeituoso, ele tenha sido produzido pela máquina
. Isso é uma probabilidade condicional e podemos usar a fórmula de Bayes:
Passo 5
Substituindo os valores que já calculamos:
Resposta
(a) A probabilidade de um parafuso ser defeituoso é
ou
.
(b) A probabilidade de que um parafuso defeituoso tenha sido produzido pela máquina
é aproximadamente
ou
.