Em uma fábrica de parafusos, as máquinas M1, M2 e M3 produzem 25 %, 35 % e 40 % do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina 5 %, 4 % e 2 %, respectivamente, são de parafusos defeituosos.
(a) Escolhendo-se ao acaso um parafuso da produção total, qual a probabilidade do mesmo ser defeituoso?
(b) Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que é defeituoso. Qual é a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido pela máquina M1 ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Probabilidade que envolve máquinas produtoras e a chance de pararfusos serem defeituosos. Precisamos calcular a probabilidade de um parafuso ser defeituoso no geral e, depois, a probabilidade de que um parafuso defeituoso venha especificamente da máquina M1. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade total e probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um parafuso ser defeituoso, considerando que as máquinas M1, M2 e M3 têm diferentes percentuais de produção e defeitos.
As máquinas produzem:
  • M1: 25% da produção total, com 5% de defeitos.
  • M2: 35% da produção total, com 4% de defeitos.
  • M3: 40% da produção total, com 2% de defeitos.
A probabilidade total de um parafuso ser defeituoso é a soma das probabilidades de vir de cada máquina multiplicadas pela chance de ser defeituoso dessa máquina. Isso é dado por:
P(D) = P(M1) times P(D|M1) + P(M2) times P(D|M2) + P(M3) times P(D|M3)

Passo 3

Substituindo os valores:
P(D) = 0,25 times 0,05 + 0,35 times 0,04 + 0,40 times 0,02
Calculando cada termo:
  • 0,25 times 0,05 = 0,0125
  • 0,35 times 0,04 = 0,014
  • 0,40 times 0,02 = 0,008
Somando tudo:
P(D) = 0,0125 + 0,014 + 0,008 = 0,0345

Passo 4

Agora, para a segunda parte, queremos saber a probabilidade de que, sabendo que um parafuso é defeituoso, ele tenha sido produzido pela máquina M1. Isso é uma probabilidade condicional e podemos usar a fórmula de Bayes:
P(M1|D) = P(M1) times P(D|M1)P(D)

Passo 5

Substituindo os valores que já calculamos:
P(M1|D) = 0,25 times 0,050,0345 = 0,01250,0345 approx 0,3623

Resposta

(a) A probabilidade de um parafuso ser defeituoso é 0,0345 ou 3,45%.
(b) A probabilidade de que um parafuso defeituoso tenha sido produzido pela máquina M1 é aproximadamente 0,3623 ou 36,23%.

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