A tabela a seguir mostra o número de votos por classe de dois candidatos que estão concorrendo a uma vaga de representante no conselho da escola.
3^{2} \mathrm{~A} 3^{2} \mathrm{~B} 3^{2} \mathrm{C} 3^{2} \mathrm{D} 3^{2} \mathrm{E} 3^{2} \mathrm{~F}
Vitor 12 15 12 16 14 15
Rafael 12 11 18 9 19 15
a) Calcule o desvio padrão e a variância de cada um dos candidatos.
b) A amplitude total de cada um dos candidatos.
c) Determine o coeficiente de variação de cada um deles.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para cada candidato (Vitor e Rafael):
  • (a) Calcular a variância e o desvio padrão.
  • (b) Calcular a amplitude total (intervalo, range).
  • (c) Calcular o coeficiente de variação.
As observações/dados fornecidos (número de votos por classe), que vou usar tal como estão na tabela:
  • Para Vitor: 12,\;15,\;12,\;16,\;14,\;15.
  • Para Rafael: 12,\;11,\;18,\;9,\;19,\;15.
Vou tratar explicitamente cada conjunto de dados e mostrar passo a passo as contas.

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que vou usar (e o que cada símbolo significa). Estou assumindo aqui que os seis valores de cada candidato representam a população completa das classes consideradas, então uso as fórmulas de variância e desvio padrão populacionais (dividindo por N). Se fosse amostra usaríamos divisor N-1; comentei isso só para você entender a diferença.
Média aritmética:
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i
onde x_i são os valores e N é o número de observações (aqui N=6).
Variância populacional:
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^{2}
onde \sigma^{2} é a variância e os termos (x_i-\bar{x})^{2} são os quadrados das diferenças entre cada valor e a média.
Desvio padrão populacional:
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}
Amplitude (range):
\text{Amplitude}=\max(x_i)-\min(x_i)
Coeficiente de variação (expressa em porcentagem):
\text{CV}=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%
Agora aplico essas fórmulas passo a passo aos dois conjuntos.

Passo 3

Cálculo da média para Vitor.
Somando os votos de Vitor:
12+15+12+16+14+15=84.
Como N=6,
\bar{x}_{\text{Vitor}}=\frac{84}{6}=14.

Passo 4

Cálculo da variância e desvio padrão de Vitor (passo a passo).
Calculo os quadrados das diferenças em relação à média 14:
(12-14)^2=4,\quad (15-14)^2=1,\quad (12-14)^2=4,
(16-14)^2=4,\quad (14-14)^2=0,\quad (15-14)^2=1.
Somando esses quadrados:
4+1+4+4+0+1=14.
Aplicando a fórmula da variância populacional:
\sigma^{2}_{\text{Vitor}}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}\approx 2,333\ldots
Desvio padrão:
\sigma_{\text{Vitor}}=\sqrt{\frac{7}{3}}\approx 1,528\\ (\text{aprox.})
(Usei aproximação decimal para o desvio; a forma exata é \sqrt{7/3}.)

Passo 5

Cálculo da média para Rafael.
Somando os votos de Rafael:
12+11+18+9+19+15=84.
Portanto
\bar{x}_{\text{Rafael}}=\frac{84}{6}=14.
Observação legal: as médias dos dois candidatos ficaram iguais, 14.

Passo 6

Cálculo da variância e desvio padrão de Rafael (passo a passo).
Quadrados das diferenças em relação à média 14:
(12-14)^2=4,\quad (11-14)^2=9,\quad (18-14)^2=16,
(9-14)^2=25,\quad (19-14)^2=25,\quad (15-14)^2=1.
Somando:
4+9+16+25+25+1=80.
Variância populacional:
\sigma^{2}_{\text{Rafael}}=\frac{80}{6}=\frac{40}{3}\approx 13,333\ldots
Desvio padrão:
\sigma_{\text{Rafael}}=\sqrt{\frac{40}{3}}\approx 3,651\\ (\text{aprox.})
(A forma exata é \sqrt{40/3}.)

Passo 7

Cálculo das amplitudes (ranges).
  • Para Vitor: máximo =16, mínimo =12, logo
\text{Amplitude}_{\text{Vitor}}=16-12=4.
  • Para Rafael: máximo =19, mínimo =9, logo
\text{Amplitude}_{\text{Rafael}}=19-9=10.

Passo 8

Cálculo dos coeficientes de variação.
Já temos as médias \bar{x}=14 para ambos.
Para Vitor:
\text{CV}_{\text{Vitor}}=\frac{\sigma_{\text{Vitor}}}{\bar{x}_{\text{Vitor}}}\times100\%=\frac{\sqrt{7/3}}{14}\times100\%\approx\frac{1,528}{14}\times100\%\approx 10,91\%.
Para Rafael:
\text{CV}_{\text{Rafael}}=\frac{\sigma_{\text{Rafael}}}{\bar{x}_{\text{Rafael}}}\times100\%=\frac{\sqrt{40/3}}{14}\times100\%\approx\frac{3,651}{14}\times100\%\approx 26,08\%.

Passo 9

Resumo rápido e interpretação curta (só para animar): apesar das médias iguais ( 14 votos), Rafael tem muito mais dispersão nos votos entre as classes (variância e desvio maiores), e isso aparece também no coeficiente de variação (Rafael \approx 26{,}08\% vs Vitor \approx 10{,}91\%). Isso quer dizer que os votos de Rafael variaram bem mais entre as turmas.

Resposta

(a) Vitor: \sigma^{2}_{\text{Vitor}}=\dfrac{7}{3}\approx 2,333, \sigma_{\text{Vitor}}=\sqrt{\dfrac{7}{3}}\approx 1,528
(a) Rafael: \sigma^{2}_{\text{Rafael}}=\dfrac{40}{3}\approx 13,333, \sigma_{\text{Rafael}}=\sqrt{\dfrac{40}{3}}\approx 3,651
(b) Vitor: \text{Amplitude}=4
(b) Rafael: \text{Amplitude}=10
(c) Vitor: \text{CV}\approx 10,91\%
(c) Rafael: \text{CV}\approx 26,08\%

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