A tabela a seguir mostra o número de votos por classe de dois candidatos que estão concorrendo a uma vaga de representante no conselho da escola.
Vitor
12
15
12
16
14
15
Rafael
12
11
18
9
19
15
a) Calcule o desvio padrão e a variância de cada um dos candidatos.
b) A amplitude total de cada um dos candidatos.
c) Determine o coeficiente de variação de cada um deles.
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| Vitor | 12 | 15 | 12 | 16 | 14 | 15 |
| Rafael | 12 | 11 | 18 | 9 | 19 | 15 |
b) A amplitude total de cada um dos candidatos.
c) Determine o coeficiente de variação de cada um deles.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para cada candidato (Vitor e Rafael):
- (a) Calcular a variância e o desvio padrão.
- (b) Calcular a amplitude total (intervalo, range).
- (c) Calcular o coeficiente de variação.
As observações/dados fornecidos (número de votos por classe), que vou usar tal como estão na tabela:
- Para Vitor:
. - Para Rafael:
.
Vou tratar explicitamente cada conjunto de dados e mostrar passo a passo as contas.
Passo 2
Vou explicar as fórmulas que vou usar (e o que cada símbolo significa). Estou assumindo aqui que os seis valores de cada candidato representam a população completa das classes consideradas, então uso as fórmulas de variância e desvio padrão populacionais (dividindo por
). Se fosse amostra usaríamos divisor
; comentei isso só para você entender a diferença.
Média aritmética:
onde
são os valores e
é o número de observações (aqui
).
Variância populacional:
onde
é a variância e os termos
são os quadrados das diferenças entre cada valor e a média.
Desvio padrão populacional:
Amplitude (range):
Coeficiente de variação (expressa em porcentagem):
Agora aplico essas fórmulas passo a passo aos dois conjuntos.
Passo 3
Cálculo da média para Vitor.
Somando os votos de Vitor:
Somando os votos de Vitor:
Como
,
Passo 4
Cálculo da variância e desvio padrão de Vitor (passo a passo).
Calculo os quadrados das diferenças em relação à média :
Calculo os quadrados das diferenças em relação à média
Somando esses quadrados:
Aplicando a fórmula da variância populacional:
Desvio padrão:
(Usei aproximação decimal para o desvio; a forma exata é
.)
Passo 5
Cálculo da média para Rafael.
Somando os votos de Rafael:
Somando os votos de Rafael:
Portanto
Observação legal: as médias dos dois candidatos ficaram iguais,
.
Passo 6
Cálculo da variância e desvio padrão de Rafael (passo a passo).
Quadrados das diferenças em relação à média :
Quadrados das diferenças em relação à média
Somando:
Variância populacional:
Desvio padrão:
(A forma exata é
.)
Passo 7
Cálculo das amplitudes (ranges).
- Para Vitor: máximo
, mínimo , logo
- Para Rafael: máximo
, mínimo , logo
Passo 8
Cálculo dos coeficientes de variação.
Já temos as médias para ambos.
Já temos as médias
Para Vitor:
Para Rafael:
Passo 9
Resumo rápido e interpretação curta (só para animar): apesar das médias iguais (
votos), Rafael tem muito mais dispersão nos votos entre as classes (variância e desvio maiores), e isso aparece também no coeficiente de variação (Rafael
vs Vitor
). Isso quer dizer que os votos de Rafael variaram bem mais entre as turmas.
Resposta
(a) Vitor:
,
(a) Rafael: ,
(a) Rafael:
(b) Vitor:
(b) Rafael:
(b) Rafael:
(c) Vitor:
(c) Rafael:
(c) Rafael: