Duas bolas vão ser retiradas simultaneamente de uma urna que contém 4 bolas brancas, 6 pretas e 8 verdes. Qual a probabilidade de que ambas:
Sejam pretas?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a probabilidade de que, ao retirar simultaneamente duas bolas de uma urna contendo bolas de cores distintas, ambas as bolas sejam pretas.
Informações dadas:
  • Número de bolas brancas: \;4.
  • Número de bolas pretas: \;6.
  • Número de bolas verdes: \;8.
  • Total de bolas na urna: \;4+6+8=18.
  • Retiram-se duas bolas simultaneamente (o que é equivalente a retirar duas sem reposição).
O que se pede:
  • A probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas.

Passo 2

Ideia geral (intuição que serve na prova): como a retirada é sem reposição, a seleção de duas bolas é um evento sem ordem — podemos contar de duas formas equivalentes e didáticas:
  1. Contar o número de maneiras de escolher duas bolas pretas e dividir pelo número de maneiras de escolher quaisquer duas bolas (método combinatório).
  2. Calcular a probabilidade de a primeira ser preta e, dado isso, a probabilidade de a segunda também ser preta (método sequencial), e multiplicar essas probabilidades.
Vou explicar e aplicar os dois métodos, porque em prova você pode usar o que achar mais confortável.

Passo 3

Método combinatório (contagem de casos favoráveis sobre casos possíveis).
  • Número de maneiras de escolher 2 bolas pretas entre as \;6 pretas: isso é o binômio \binom{6}{2}. A fórmula de combinação é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n(n-1)(n-2)\cdots1. Aqui não precisamos expandir tudo; basta usar que
\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}=15.
  • Número de maneiras de escolher quaisquer 2 bolas dentre as 18: isso é \binom{18}{2}. Calcula-se
\binom{18}{2}=\frac{18\cdot17}{2\cdot1}=153.
Portanto, pela razão de casos favoráveis sobre casos possíveis, a probabilidade é
\frac{\binom{6}{2}}{\binom{18}{2}}=\frac{15}{153}.

Passo 4

Simplificação da fração obtida no método combinatório.
Vamos simplificar \dfrac{15}{153}. Dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{15}{153}=\frac{5}{51}.
Esse é o valor final pelo método combinatório (vou confirmar pelo método sequencial para reforçar o entendimento).

Passo 5

Método sequencial (sem reposição), interpretação passo a passo:
  • Probabilidade de a primeira bola ser preta: há 6 pretas entre 18 bolas, logo
P(\text{1ª preta})=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}.ª
  • Se a primeira foi preta, restam 5 pretas e o total passa a ser 17 bolas. Então a probabilidade condicional de a segunda ser preta, dado que a primeira foi preta, é
P(\text{2ª preta}\mid \text{1ª preta})=\frac{5}{17}.ªª
  • Como queremos ambas serem pretas (evento intersecção numa sequência), multiplicamos as probabilidades:
P(\text{ambas pretas})=P(\text{1ª preta})\cdot P(\text{2ª preta}\mid \text{1ª preta})=\frac{6}{18}\cdot\frac{5}{17}.ªªª
Agora calculamos:
\frac{6}{18}\cdot\frac{5}{17}=\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{17}=\frac{5}{51},
que coincide com o resultado do método combinatório, como devia acontecer.

Passo 6

Interpretação final e atalho para a prova:
  • Resultado natural em problemas sem reposição: ou usar combinações (contando casos) ou multiplicar probabilidades condicionais (sequencial). Ambos dão o mesmo resultado.
  • Para lembrar: quando é “simultaneamente” ou “sem reposição”, pense em combinações; quando é “uma a uma sem reposição”, pense em probabilidades condicionais — são dois jeitos de ver a mesma coisa.

Resposta

\dfrac{5}{51}\\ \approx\\\ 0,09804

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