Duas bolas vão ser retiradas simultaneamente de uma urna que contém 4 bolas brancas, 6 pretas e 8 verdes. Qual a probabilidade de que ambas:
Sejam pretas?
Sejam pretas?
Passo 1
O enunciado pede para calcular a probabilidade de que, ao retirar simultaneamente duas bolas de uma urna contendo bolas de cores distintas, ambas as bolas sejam pretas.
Informações dadas:
- Número de bolas brancas:
. - Número de bolas pretas:
. - Número de bolas verdes:
. - Total de bolas na urna:
. - Retiram-se duas bolas simultaneamente (o que é equivalente a retirar duas sem reposição).
O que se pede:
- A probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas.
Passo 2
Ideia geral (intuição que serve na prova): como a retirada é sem reposição, a seleção de duas bolas é um evento sem ordem — podemos contar de duas formas equivalentes e didáticas:
- Contar o número de maneiras de escolher duas bolas pretas e dividir pelo número de maneiras de escolher quaisquer duas bolas (método combinatório).
- Calcular a probabilidade de a primeira ser preta e, dado isso, a probabilidade de a segunda também ser preta (método sequencial), e multiplicar essas probabilidades.
Vou explicar e aplicar os dois métodos, porque em prova você pode usar o que achar mais confortável.
Passo 3
Método combinatório (contagem de casos favoráveis sobre casos possíveis).
- Número de maneiras de escolher
bolas pretas entre as pretas: isso é o binômio . A fórmula de combinação é
onde
(fatorial) é o produto
. Aqui não precisamos expandir tudo; basta usar que
- Número de maneiras de escolher quaisquer
bolas dentre as : isso é . Calcula-se
Portanto, pela razão de casos favoráveis sobre casos possíveis, a probabilidade é
Passo 4
Simplificação da fração obtida no método combinatório.
Vamos simplificar
. Dividindo numerador e denominador por
:
Esse é o valor final pelo método combinatório (vou confirmar pelo método sequencial para reforçar o entendimento).
Passo 5
Método sequencial (sem reposição), interpretação passo a passo:
- Probabilidade de a primeira bola ser preta: há
pretas entre bolas, logo
- Se a primeira foi preta, restam
pretas e o total passa a ser bolas. Então a probabilidade condicional de a segunda ser preta, dado que a primeira foi preta, é
- Como queremos ambas serem pretas (evento intersecção numa sequência), multiplicamos as probabilidades:
Agora calculamos:
que coincide com o resultado do método combinatório, como devia acontecer.
Passo 6
Interpretação final e atalho para a prova:
- Resultado natural em problemas sem reposição: ou usar combinações (contando casos) ou multiplicar probabilidades condicionais (sequencial). Ambos dão o mesmo resultado.
- Para lembrar: quando é “simultaneamente” ou “sem reposição”, pense em combinações; quando é “uma a uma sem reposição”, pense em probabilidades condicionais — são dois jeitos de ver a mesma coisa.