Duas bolas vão ser retiradas simultaneamente de uma urna que contém 4 bolas brancas, 6 pretas e 8 verdes. Qual a probabilidade de que ambas:
Sejam brancas?

Passo 1

Lista do que o enunciado dá e do que é pedido:
  • A urna contém 4 bolas brancas, 6 bolas pretas e 8 bolas verdes.
  • O total de bolas na urna é 4+6+8=18.
  • Serão retiradas simultaneamente duas bolas (isto é, sem reposição).
  • A pergunta: qual a probabilidade de que ambas as bolas retiradas sejam brancas?

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): quando retiramos duas bolas sem reposição, a probabilidade de dois eventos ocorrerem em sequência pode ser calculada com a regra do produto:
P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\,P(B\mid A),
onde P(B\mid A) é a probabilidade de B acontecer depois que A já ocorreu. Aqui os eventos serão “primeira bola é branca” e “segunda bola é branca dado que a primeira foi branca”. Outra forma equivalente é usar contagem combinatória: número de maneiras de escolher 2 brancas dividido pelo número de maneiras de escolher quaisquer 2 bolas.

Passo 3

Definir eventos e aplicar a regra do produto:
  • Seja W_1 o evento “primeira bola é branca”.
  • Seja W_2 o evento “segunda bola é branca”.
    Queremos P(W_1\\ \text{e}\\ W_2)=P(W_1)\,P(W_2\mid W_1).

Passo 4

Calcular P(W_1): no primeiro sorteio há 4 bolas brancas entre 18 bolas no total. Então
P(W_1)=\frac{4}{18}.
Explicando: a probabilidade de um evento uniforme por contagem é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis.

Passo 5

Calcular P(W_2\mid W_1): se a primeira foi branca, ficou uma bola branca a menos e o total de bolas passou a ser 17. Logo há 3 brancas entre 17 bolas, portanto
P(W_2\mid W_1)=\frac{3}{17}.

Passo 6

Multiplicar para obter a probabilidade conjunta:
P(\text{ambas brancas})=P(W_1)\,P(W_2\mid W_1)=\frac{4}{18}\cdot\frac{3}{17}=\frac{12}{306}.
Agora simplificar a fração. Dividindo numerador e denominador por 6 temos
\frac{12}{306}=\frac{2}{51}.

Passo 7

Verificação pela contagem combinatória (método alternativo, equivalente):
  • Número de maneiras de escolher 2 bolas brancas dentre 4 é \binom{4}{2}.
  • Número de maneiras de escolher quaisquer 2 bolas dentre 18 é \binom{18}{2}.
    Usando \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} ou a fórmula prática para \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}:
\binom{4}{2}=6,\qquad \binom{18}{2}=\frac{18\cdot17}{2}=153.
Portanto a probabilidade é
\frac{\binom{4}{2}}{\binom{18}{2}}=\frac{6}{153}=\frac{2}{51},
o que confirma o resultado anterior.

Passo 8

Exemplo pequeno para fixar a ideia: se a urna tivesse 3 brancas e 2 pretas ( 5 bolas), a probabilidade de tirar 2 brancas sem reposição seria
  • pelo produto: \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{4}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10};
  • por combinação: \dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}}=\dfrac{3}{10}.
    Os dois métodos dão o mesmo resultado, como aconteceu no problema principal.

Resposta

\dfrac{2}{51}

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