Duas bolas vão ser retiradas simultaneamente de uma urna que contém 4 bolas brancas, 6 pretas e 8 verdes. Qual a probabilidade de que ambas:
Sejam brancas?
Sejam brancas?
Passo 1
Lista do que o enunciado dá e do que é pedido:
- A urna contém
bolas brancas, bolas pretas e bolas verdes. - O total de bolas na urna é
. - Serão retiradas simultaneamente duas bolas (isto é, sem reposição).
- A pergunta: qual a probabilidade de que ambas as bolas retiradas sejam brancas?
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): quando retiramos duas bolas sem reposição, a probabilidade de dois eventos ocorrerem em sequência pode ser calculada com a regra do produto:
onde
é a probabilidade de
acontecer depois que
já ocorreu. Aqui os eventos serão “primeira bola é branca” e “segunda bola é branca dado que a primeira foi branca”. Outra forma equivalente é usar contagem combinatória: número de maneiras de escolher
brancas dividido pelo número de maneiras de escolher quaisquer
bolas.
Passo 3
Definir eventos e aplicar a regra do produto:
- Seja
o evento “primeira bola é branca”. - Seja
o evento “segunda bola é branca”.
Queremos.
Passo 4
Calcular
: no primeiro sorteio há
bolas brancas entre
bolas no total. Então
Explicando: a probabilidade de um evento uniforme por contagem é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis.
Passo 5
Calcular
: se a primeira foi branca, ficou uma bola branca a menos e o total de bolas passou a ser
. Logo há
brancas entre
bolas, portanto
Passo 6
Multiplicar para obter a probabilidade conjunta:
Agora simplificar a fração. Dividindo numerador e denominador por
temos
Passo 7
Verificação pela contagem combinatória (método alternativo, equivalente):
- Número de maneiras de escolher
bolas brancas dentre é . - Número de maneiras de escolher quaisquer
bolas dentre é .
Usandoou a fórmula prática para :
Portanto a probabilidade é
o que confirma o resultado anterior.
Passo 8
Exemplo pequeno para fixar a ideia: se a urna tivesse
brancas e
pretas (
bolas), a probabilidade de tirar
brancas sem reposição seria
- pelo produto:
; - por combinação:
.
Os dois métodos dão o mesmo resultado, como aconteceu no problema principal.