Uma taça em repouso na origem de um sistema de coordenadas xy explode em três pedaços. Logo depois da explosão, um dos pedaços, de massa m, está se movendo com velocidade ( -30 m / s )i e um segundo pedaço, também de massa m, está se movendo com velocidade ( -30 m / s ) . O terceiro pedaço tem massa 3m. Determine (a) o módulo e (b) a orientação da velocidade do terceiro pedaço logo após a explosão.

Passo 1

O enunciado descreve uma taça em repouso que explode em três fragmentos. Dois deles têm massa m e saem com velocidades conhecidas, e o terceiro tem massa 3m e queremos sua velocidade logo após a explosão. O conteúdo da matéria aqui é a conservação do momento linear vetorial em duas dimensões, pois não há forças externas atuando no instante da explosão.

Passo 2

Vamos chamar de vec v1 e vec v2 as velocidades dos dois pedaços de massa m. Segundo o enunciado:
vec v1 = -30,imathe vec v2 = -30,jmath
Seja vec v3 a velocidade do pedaço de massa 3m. A conservação do momento vetorial diz
m,vec v1 + m,vec v2 + 3m,vec v3 = vec 0

Passo 3

Isolando vec v3 na equação de momento:
3m,vec v3 = -m,(vec v1 + vec v2) Longrightarrow vec v3 = -vec v1 + vec v23
Substituindo vec v1 e vec v2:
vec v3 = -(-30,imath) + (-30,jmath)3 = 30,imath + 30,jmath3 = 10,imath + 10,jmath

Passo 4

Para obter o módulo de vec v3, aplicamos a fórmula da norma de um vetor em duas dimensões:
|vec v3| = raiz(10)^2 + (10)^2 = 10raiz2 m/s

Passo 5

A orientação de vec v3 em relação ao eixo x é dada por
theta = arctan!gl(1010gr) = arctan(1) = 45^circ
Ou seja, o vetor aponta na direção nordeste, fazendo 45^circ acima do eixo x.

Resposta

(a) 10raiz2 m/s
(b) 45^circ acima do eixo x (direção nordeste)

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