O tamanho em que se corta a batata é importante na velocidade de cozimento das mesmas. Assim, obtiveram-se três formas diferentes, com a exigência de que todos tivessem a mesma massa de 5 g de batata crua: a) esfera, b) cilindro com comprimento de 6 cm , c) disco fino com diâmetro de 4 cm . As peças se encontram inicialmente a temperatura inicial igual a 30^circ C e são imersas em água fervendo a pressão ambiente. Nas condições de operação, o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a água e os cortes de batata é igual a 20000 W / m^2 K e as propriedades termofísicas da batata são consideradas constantes durante o cozimento e são: rho=0,9 g / cm^3, k=0,6 W / m K e c=3,43 kJ / kg K. Determine o tempo para que a temperatura do centro de cada peça alcance 65^circ C. Qual é o melhor corte para se obter uma cocção mais rápida?

Passo 1

O enunciado pede o tempo para que o centro de três peças de batata (esfera, cilindro e disco), todas de massa 5,g, aqueça de 30^circC até 65^circC em água a 100^circC, com coeficiente de convecção h=20000,W/ m^2K. O conteúdo é condução transiente em corpos com Biot grande, de modo que podemos tratar a superfície ao nível da temperatura do banho e usar as soluções de primeira ordem (primeiro termo da série) para centro de meia-espessura de placa, raio de cilindro e raio de esfera.

Passo 2

Calcular o volume comum e as dimensões de cada peça. A densidade é rho=0,9,g/c m^3 =900,kg/ m^3, então
V=mrho=0,005900=5,556times10^-6,m^3
Esfera:
V=tfrac43pi R^3Rightarrow R=l(tfrac3V4pir)^1/3approx0,0110, m
Cilindro de comprimento L=0,06,m:
pi r^2L=VRightarrow r=raizVpi Lapprox0,00543, m
Disco de diâmetro D=0,04,m (espessura t):
pil(tfracD2r)^2 t=VRightarrow tapprox0,004425, m,
logo meia-espessura da placa é
,Ls=t/2approx0,0022125, m

Passo 3

Calcular a difusividade térmica
alpha=krho,c=0,6900times3430approx1,94times10^-7,m^2/ s

Passo 4

Biot number para cada geometria ( Bi=h,Lc/k) fica muito maior que 0,1, de modo que a resistência de convecção é desprezível e a superfície pode ser tomada a Ts=100^circC (condição de contorno tipo Dirichlet).

Passo 5

Definimos o número de Fourier
Fo=alpha,tL^2,
onde L é a meia-espessura (placa), o raio (cilindro) ou o raio (esfera). Para o centro das geometrias, a aproximação de primeiro termo da série dá:
Placa ( x=L):
theta0;approx;4pi,exp!l(-pi^24,For)
Cilindro ( r=R):
theta0;approx;2lambda1J1(lambda1),exp!l(-lambda1^2,For),
com lambda1=2,405 e J1(lambda1)=0,5191, logo o coeficiente é
;C1=2/(2,405times0,5191)approx1,613
Esfera ( r=R):
Pela primeira raiz aproximada das condições de contorno, usa-se
theta0;approx;A1,exp!l(-beta1^2,For),
com valores típicos beta1approx2,744 e A1approx0,553.
Em todos os casos
theta0=T!c(t)-TsTi-Ts,
onde Ti=30^circC, Ts=100^circC e Tc(t)=65^circC, de modo que
theta0=65-10030-100=0,5

Passo 6

Determinar Fo em cada caso:
Placa:
0,5=4piexp!l(-tfracpi^24For) Rightarrow Fosapprox0,38
Cilindro:
0,5=1,613exp!l(-2,405^2,For) Rightarrow Focapprox0,203
Esfera:
0,5=0,553exp!l(-2,744^2,For) Rightarrow Foeapprox0,15

Passo 7

Calcular t=Fo,L^2/alpha em cada caso:
Placa ( Ls=0,0022125,m):
ts =0,38times(2,2125times10^-3)^21,94times10^-7 approx9,6; s
Cilindro ( R=0,00543,m):
tc =0,203times(5,43times10^-3)^21,94times10^-7 approx31; s
Esfera ( R=0,0110,m):
te =0,15times(1,10times10^-2)^21,94times10^-7 approx88; s

Resposta

Tempos aproximados para Tc=65^circC:
esfera: tapprox88,s,
cilindro: tapprox31,s,
disco fino: tapprox9,6,s.
O corte que cozinha mais rápido é o disco fino.

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