Um tambor cilíndrico de massa M e raio R tem um fio enrolado ao seu redor. Determine seu momento de inércia e explique como ele afeta a aceleração do corpo quando a corda é liberada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um tambor cilíndrico com massa $ M $ e raio $ R $, e um fio enrolado nele. A gente vai descobrir qual é o momento de inércia desse tambor e entender como ele influencia na aceleração quando você solta a corda. Para isso, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e dinâmica rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o momento de inércia. Esse é um conceito que diz respeito a como a massa do objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais massa tiver longe do eixo, maior é o momento de inércia. Para um cilindro oco (que é o caso do tambor), a fórmula do momento de inércia é:
I = M R^2
Aqui, $ M $ é a massa do tambor e $ R $ é o raio dele. Essa fórmula mostra que todo o peso do tambor está concentrado na borda, o que é típico de um tambor.

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com a aceleração quando a corda é liberada. Quando você solta a corda, a força da gravidade age na massa que está puxando o fio, criando um torque no tambor. O torque ($ \tau $) é calculado por:
tau
Onde $ F $ é a força aplicada. Segundo a segunda lei de Newton para a rotação, temos:
tau = F cdot R
Aqui, $ \alpha $ é a aceleração angular. Substituindo a expressão do torque, temos:
F
Rearranjando para encontrar $ \alpha $:
tau = I cdot alpha
Como encontramos que $ I = M R^2 $, substituindo na equação da aceleração:
alpha
Isso mostra que a aceleração angular $ \alpha $ é inversamente proporcional ao momento de inércia $ I $. Ou seja, quanto maior o momento de inércia, menor será a aceleração, e vice-versa.

Resposta

O momento de inércia do tambor cilíndrico é $ I = M R^2 $. Esse momento de inércia determina que, ao liberar a corda, a aceleração angular do tambor será inversamente proporcional a $ I $, ou seja, quanto maior o momento de inércia, menor será a aceleração do tambor.

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