Um avião faz uma curva gradual de 90^{\circ} enquanto está voando com uma velocidade constante de 200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O processo leva 20,0 segundos. A aceleração média do avião durante a manobra é
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
\bigcirc b. 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
\bigcirc c. 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
\bigcirc d. 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
\bigcirc e. 14 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Dados: v=200\\ \mathrm{m/s} (velocidade com módulo constante), a mudança de direção é de 90^\circ e o tempo gasto é \Delta t=20{,}0\\ \mathrm{s}. Pergunta: qual é a aceleração média do avião durante a manobra (isto é, o módulo de \bar{\mathbf{a}})?

Passo 2

Definição importante: a aceleração média vetorial é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Em forma matemática:
\bar{\mathbf{a}}=\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t},
onde \Delta \mathbf{v}=\mathbf{v}_f-\mathbf{v}_i. Como a velocidade tem direção diferente no início e no fim, \Delta \mathbf{v} é um vetor não nulo mesmo com |\mathbf{v}_i|=|\mathbf{v}_f|=v. O módulo da aceleração média vale
|\bar{\mathbf{a}}|=\frac{|\Delta \mathbf{v}|}{\Delta t}.

Passo 3

Para achar |\Delta \mathbf{v}| consideramos os vetores \mathbf{v}_i e \mathbf{v}_f com mesmo módulo v e ângulo entre eles \theta=90^\circ. Usamos a lei dos cossenos no triângulo formado por \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_f e \Delta \mathbf{v}:
|\Delta \mathbf{v}|^2 = v^2 + v^2 - 2v\cdot v\cos\theta = 2v^2(1-\cos\theta).
Usamos a identidade trigonométrica 1-\cos\theta = 2\sin^2(\theta/2) para reescrever:
|\Delta \mathbf{v}|^2 = 2v^2\cdot 2\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 4v^2\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Tomando raiz,
|\Delta \mathbf{v}| = 2v\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
(Isto é intuitivo: |\Delta \mathbf{v}| é o comprimento da corda que une as pontas dos vetores velocidades no círculo de raio v.)

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Temos v=200\\ \mathrm{m/s} e \theta=90^\circ, logo \theta/2=45^\circ e \sin45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim
|\Delta \mathbf{v}| = 2\cdot 200\cdot \sin45^\circ = 400\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 200\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}.
Dividindo pelo tempo \Delta t=20{,}0\\ \mathrm{s},
|\bar{\mathbf{a}}|=\frac{200\sqrt{2}}{20{,}0}=\;10\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s^2}\approx 14{,}14\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Conclusão prática: entre as alternativas dadas, o valor que corresponde ao cálculo é a alternativa (e) 14\\ \mathrm{m/s^2} (arredondando 14{,}14 para dois algarismos significativos como nas opções).

Resposta

e. \;14\\ \mathrm{m/s^2}

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