Um tanque agitado contém água a 25^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=997 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right. e \left.\mu=0,001 \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}\right) e possui um impelidor de pás planas com diâmetro \mathrm{D}=0,12 \mathrm{~m}, operando a uma velocidade de 300 rpm . Durante o experimento, foi medido um torque de 0,45 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} no eixo do impelidor. Calcule o número de Reynolds e número de potência do tanque agitado. O escoamento nele presente é laminar ou turbulento? Justifique.

Passo 1

Dados fornecidos e o que é pedido:
  • Temperatura da água (informação só para referência): 25^\circ\mathrm{C}.
  • Densidade: \rho = 997\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Viscosidade dinâmica: \mu = 0,001\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Diâmetro do impelidor: D = 0,12\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade de rotação: 300\\ \mathrm{rpm}.
  • Torque medido no eixo: \tau = 0,45\\ \mathrm{N\cdot m}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o número de Reynolds do impelidor.
  • Calcular o número de potência (power number) do tanque agitado.
  • Dizer se o escoamento é laminar ou turbulento e justificar.

Passo 2

Cálculo do número de Reynolds: fórmula, significado das variáveis e conversões.
A definição prática do número de Reynolds para um impelidor é
Re = \frac{\rho N D^2}{\mu},
onde
  • \rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3),
  • N é a velocidade de rotação em revoluções por segundo ( \mathrm{s}^{-1}),
  • D é o diâmetro do impelidor (em \mathrm{m}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica (em \mathrm{Pa\cdot s}).
Primeiro, converter 300\\ \mathrm{rpm} para \mathrm{s}^{-1}:
N = \frac{300}{60} = 5\\ \mathrm{s}^{-1}.
Calcule D^2:
D^2 = 0,12^2 = 0,0144\\ \mathrm{m}^2.
Calcule o numerador \rho N D^2:
\rho N D^2 = 997 \times 5 \times 0,0144 = 71,784.
Agora divida por \mu:
Re = \frac{71,784}{0,001} = 71\,784 \approx 7,1784\times 10^{4}.
Portanto, o número de Reynolds é \displaystyle Re \approx 7,18\times 10^{4}.

Passo 3

Cálculo da potência absorvida pelo impelidor a partir do torque.
A relação entre potência P, torque \tau e velocidade angular \omega é
P = \tau\,\omega,
onde a velocidade angular é \omega = 2\pi N (com N em \mathrm{s}^{-1}).
Já temos N = 5\\ \mathrm{s}^{-1}, então
\omega = 2\pi \times 5 = 10\pi \approx 31,416\\ \mathrm{rad/s}.
Calcule a potência:
P = 0,45 \times 31,416 \approx 14,137\\ \mathrm{W}.
(Interpretação física rápida: essa é a potência mecânica fornecida ao fluido pelo impelidor.)

Passo 4

Definição do número de potência e cálculo passo a passo.
O número de potência ( N_P) é definido como
N_P = \frac{P}{\rho N^3 D^5},
onde
  • P é a potência (W),
  • \rho é a densidade ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3),
  • N é a rotação em \mathrm{s}^{-1},
  • D é o diâmetro (m).
Calcule D^5 em etapas:
D^2 = 0,0144,\quad D^3 = D^2\cdot D = 0,0144\times 0,12 = 0,001728,
D^4 = 0,001728\times 0,12 = 0,00020736,
D^5 = 0,00020736\times 0,12 = 0,0000248832 = 2,48832\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^5.
Calcule N^3:
N^3 = 5^3 = 125\\ \mathrm{s}^{-3}.
Multiplique N^3 D^5:
N^3 D^5 = 125 \times 2,48832\times 10^{-5} = 3,1104\times 10^{-3}.
Multiplique por \rho:
\rho N^3 D^5 = 997 \times 3,1104\times 10^{-3} = 3,1010688.
Finalmente o número de potência:
N_P = \frac{P}{\rho N^3 D^5} = \frac{14,137}{3,1010688} \approx 4,56.
Portanto, o número de potência é N_P \approx 4,56.

Passo 5

Classificação do regime (laminar vs turbulento) e justificativa.
Regra prática (usada em engenharia de agitação):
  • Para impelidores costuma-se considerar o escoamento efetivamente turbulento quando Re \gtrsim 10^{4}.
  • Regimes muito baixos ( Re\lesssim 10) são laminares; há uma zona de transição entre esses valores e 10^{4} dependendo do caso.
Aqui obtivemos Re \approx 7,18\times 10^{4}, que é bem maior que 10^{4}. Logo o escoamento no tanque é turbulento.
Justificativa física simples: um Reynolds alto significa que as forças de inércia (associadas à rotação e velocidade do fluido) dominam sobre as forças viscosas; isso gera mistura com vorticidade intensa e flutuações turbulentas. Além disso, o valor do número de potência calculado ( N_P\approx 4,56) é compatível com valores típicos de impelidores de pás planas em regime turbulento (valores de N_P na faixa de cerca de 3 a 6 são comuns), o que reforça a conclusão.

Passo 6

Resumo prático para a prova (receita rápida):
  • Converter 300\\ \mathrm{rpm} para N=5\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Usar Re=\dfrac{\rho N D^2}{\mu}.
  • Calcular potência por P=\tau(2\pi N).
  • Usar N_P=\dfrac{P}{\rho N^3 D^5}.
  • Comparar Re com a referência 10^{4} para decidir regime (no enunciado, justifique dizendo que inércia domina: turbulento).

Resposta

Re \approx 7,18\times 10^{4}\n
N_P \approx 4,56\n
Regime: turbulento.

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