[2,5] Um reator de
galões é utilizado em uma estação de recuperação de água. A concentração de influentes é de
, a concentração de efluentes é de
e a vazia através do reator é 500 galöes/min. Suponha que o reator deva ser modelado como um PFR com decaimento de primeira ordem. Nesse caso, qual deve ser a constante da taxa de decaimento de primeira ordem dentro do reator PFR, em unidades por hora? Considere a modelagem do PFR sem dependéncia do tempo.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a constante da taxa de decaimento de primeira ordem dentro do reator PFR, em unidades por hora.
Informações fornecidas (pego do enunciado):
- Volume do reator:
galões. - Concentração de influente (entrada):
mg/L. - Concentração de efluente (saída):
mg/L. - Vazão volumétrica através do reator:
galões/min. - Modelo: reator PFR (plug flow reactor) sem dependência do tempo e com reação de primeira ordem.
Passo 2
Entendendo a relação matemática que vamos usar (aula rápida e prática).
- Em um PFR estacionário com cinética de primeira ordem, cada “fatia” de fluido que entra fica um tempo
no reator e sofre um decaimento exponencial da concentração. A equação que relaciona entrada e saída é
Explanação das variáveis:
-
: concentração na entrada (mg/L). -
: concentração na saída (mg/L). -
: constante da taxa de decaimento de primeira ordem (unidade a determinar — aqui queremos por hora, ). -
: tempo de residência médio no reator (tempo que uma partícula do fluido permanece no reator), em horas se quisermos em .
Por que essa fórmula? Porque para cinética de primeira ordem a variação temporal da concentração de uma partícula que permanece tempo
é
, cuja solução é
. No PFR, cada elemento de fluido vê exatamente um tempo
, por isso
.
Passo 3
Calcular o tempo de residência
.
- Fórmula:
. - Atenção às unidades:
e estão em galões e galões/min; assim inicial sai em minutos. Para obter em precisamos em horas.
Cálculo passo a passo:
- Primeiro calcule em minutos:
- Converter para horas dividindo por
:
Passo 4
Isolar
a partir da equação do PFR.
- Partindo de
tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
- Isolando
:
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Lembre que
é o logaritmo natural.
Passo 5
Substituir os valores e calcular numericamente (fazendo as manipulações de forma que dê para fazer sem calculadora, quando possível).
- Relação de concentrações:
- Logo
. E . - Usando
, temos
- Avaliando numericamente:
Arredondando razoavelmente para quatro casas significativas: