[2,5] Um reator de 1,0 \times 10^{6} galões é utilizado em uma estação de recuperação de água. A concentração de influentes é de 100 \mathrm{mg} / \mathrm{L}, a concentração de efluentes é de 25 \mathrm{mg} / \mathrm{L} e a vazia através do reator é 500 galöes/min. Suponha que o reator deva ser modelado como um PFR com decaimento de primeira ordem. Nesse caso, qual deve ser a constante da taxa de decaimento de primeira ordem dentro do reator PFR, em unidades por hora? Considere a modelagem do PFR sem dependéncia do tempo.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a constante da taxa de decaimento de primeira ordem dentro do reator PFR, em unidades por hora.
Informações fornecidas (pego do enunciado):
  • Volume do reator: V = 1{,}0\times10^{6} galões.
  • Concentração de influente (entrada): C_{\text{in}} = 100 mg/L.
  • Concentração de efluente (saída): C_{\text{out}} = 25 mg/L.
  • Vazão volumétrica através do reator: Q = 500 galões/min.
  • Modelo: reator PFR (plug flow reactor) sem dependência do tempo e com reação de primeira ordem.

Passo 2

Entendendo a relação matemática que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Em um PFR estacionário com cinética de primeira ordem, cada “fatia” de fluido que entra fica um tempo \tau no reator e sofre um decaimento exponencial da concentração. A equação que relaciona entrada e saída é
C_{\text{out}} = C_{\text{in}} \exp\!\big(-k\,\tau\big).
Explanação das variáveis:
  • C_{\text{in}}: concentração na entrada (mg/L).
  • C_{\text{out}}: concentração na saída (mg/L).
  • k: constante da taxa de decaimento de primeira ordem (unidade a determinar — aqui queremos por hora, \mathrm{h}^{-1}).
  • \tau: tempo de residência médio no reator (tempo que uma partícula do fluido permanece no reator), em horas se quisermos k em \mathrm{h}^{-1}.
Por que essa fórmula? Porque para cinética de primeira ordem a variação temporal da concentração de uma partícula que permanece tempo t é dC/dt = -kC, cuja solução é C(t)=C(0)e^{-kt}. No PFR, cada elemento de fluido vê exatamente um tempo \tau, por isso C_{\text{out}}=C_{\text{in}}e^{-k\tau}.

Passo 3

Calcular o tempo de residência \tau.
  • Fórmula: \tau = \dfrac{V}{Q}.
  • Atenção às unidades: V e Q estão em galões e galões/min; assim \tau inicial sai em minutos. Para obter k em \mathrm{h}^{-1} precisamos \tau em horas.
Cálculo passo a passo:
  • Primeiro calcule em minutos:
\tau_{\text{(min)}}=\dfrac{1{,}0\times10^{6}\\ \text{gal}}{500\\ \text{gal/min}}= \dfrac{10^{6}}{500}=2000\\ \text{min}.
  • Converter para horas dividindo por 60:
\tau=\dfrac{2000}{60}=\dfrac{100}{3}\\ \text{h}\approx 33{,}333\\ \text{h}.

Passo 4

Isolar k a partir da equação do PFR.
  • Partindo de
C_{\text{out}} = C_{\text{in}} \exp\!\big(-k\,\tau\big),
tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
\ln\!\left(\dfrac{C_{\text{out}}}{C_{\text{in}}}\right) = -k\,\tau.
  • Isolando k:
k = -\dfrac{1}{\tau}\ln\!\left(\dfrac{C_{\text{out}}}{C_{\text{in}}}\right).
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Lembre que \ln(\cdot) é o logaritmo natural.

Passo 5

Substituir os valores e calcular numericamente (fazendo as manipulações de forma que dê para fazer sem calculadora, quando possível).
  • Relação de concentrações:
\dfrac{C_{\text{out}}}{C_{\text{in}}}=\dfrac{25}{100}=0{,}25=\tfrac{1}{4}.
  • Logo \ln\!\left(\dfrac{C_{\text{out}}}{C_{\text{in}}}\right)=\ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=-\ln(4). E \ln(4)\approx 1{,}3862943611.
  • Usando \tau=\dfrac{100}{3}\\ \text{h}, temos
k = -\dfrac{1}{100/3}\ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right) = \dfrac{3}{100}\ln(4).
  • Avaliando numericamente:
k \approx \dfrac{3}{100}\times 1{,}3862943611 \approx 0{,}0415888308\\ \mathrm{h}^{-1}.
Arredondando razoavelmente para quatro casas significativas:
k \approx 0{,}04159\\ \mathrm{h}^{-1}.

Resposta

k = 0{,}04159\\ \mathrm{h}^{-1}

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