Considere o problema de comparação do volume necessário para um PFR e um CMFR, para um mesmo percentual de remoção. Dados: \mathrm{Ca} / \mathrm{C} \mathrm{m}=50 \\%, \mathrm{Q}=5.0 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, \mathrm{k}=0.05 \mathrm{~s}\. Guantos litros a menos o PFR requer em comparaçäo ao CMFR? Responda aos itens (a) e (b) com base em calculos. Para o CMFR, considere na modelagem estado estável e decaimento de primeira ordem. Para o PFR, considere uma modelagem com base nos dados de projeto e operação do reator, além da concentração de entrada.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede que a comparação seja feita para o mesmo percentual de remoção:
  • Vazão: Q=5{,}0\\ \mathrm{L/s}.
  • Constante cinética (primeira ordem): k=0{,}05\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Percentual de remoção desejado: 50\%.
    Isso significa que a concentração de saída é metade da de entrada. Vou chamar a concentração de entrada de C_0 e a de saída de C. Assim: \frac{C}{C_0}=0{,}5.
O que se pede (itens (a) e (b), inferindo a partir do texto):
(a) calcular os volumes necessários para o CMFR (reator em estado estacionário, equivalente a CSTR) e para o PFR (reator pistonado) para atingir \frac{C}{C_0}=0{,}5;
(b) determinar quantos litros a menos o PFR requer em comparação ao CMFR.

Passo 2

Modelo e fórmula para o CMFR (CSTR) com decaimento de primeira ordem — explicação didática:
  • Em estado estacionário, balanço de massa para um CSTR com reação de taxa de ordem 1 ( r=kC) é: \text{entrada} - \text{saída} - \text{consumo pela reação}=0.íçãNumericamente: Q C_0 - Q C - V k C = 0.Aqui:
    • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{L/s}),
    • C_0 é a concentração de entrada ( \mathrm{mass/vol}, cancela nas razões),
    • C é a concentração de saída no reator,
    • V é o volume do reator ( \mathrm{L}),
    • k é a constante de primeira ordem ( \mathrm{s^{-1}}).
  • Isolando V: Q(C_0-C)=VkC \quad\Rightarrow\quad V=\frac{Q(C_0-C)}{kC}.
  • É prático escrever em termos da fração X=\dfrac{C}{C_0}. Substituindo C=XC_0: V=\frac{Q(1-X)}{kX}.

Passo 3

Aplicando ao caso pedido para o CMFR:
  • Para 50\% de remoção temos X=\dfrac{C}{C_0}=0{,}5.
  • Substituindo em \displaystyle V=\frac{Q(1-X)}{kX}: V_{\mathrm{CMFR}}=\frac{Q(1-0{,}5)}{k\cdot 0{,}5}=\frac{Q\cdot 0{,}5}{0{,}5\,k}=\frac{Q}{k}.
  • Agora os números: Q=5{,}0\\ \mathrm{L/s} e k=0{,}05\\ \mathrm{s^{-1}}: V_{\mathrm{CMFR}}=\frac{5{,}0}{0{,}05}=100\\ \mathrm{L}.Observação de unidades: \mathrm{L/s} dividido por \mathrm{s^{-1}} resulta em \mathrm{L}, como esperado.

Passo 4

Modelo e fórmula para o PFR (plug flow, reator pistonado) com reação de primeira ordem — explicação didática:
  • No PFR, cada “fatia” de fluido tem um tempo de residência \tau=V/Q e a concentração decai exponencialmente segundo a cinética de primeira ordem: \frac{dC}{dt}=-kC \quad\Rightarrow\quad C(t)=C_0 e^{-kt}.Aqui t é o tempo de residência. Para o escoamento plug, o tempo médio até saída é \tau, logo: \frac{C}{C_0}=e^{-k\tau}=e^{-kV/Q}.
  • Isolando V: V=-\frac{Q}{k}\ln\!\left(\frac{C}{C_0}\right).

Passo 5

Aplicando ao caso pedido para o PFR:
  • Para \dfrac{C}{C_0}=0{,}5: V_{\mathrm{PFR}}=-\frac{Q}{k}\ln(0{,}5)=\frac{Q}{k}\ln 2.
  • Substituindo números ( Q/k=5{,}0/0{,}05=100): V_{\mathrm{PFR}}=100\cdot\ln 2\approx 100\cdot 0{,}693147\ldots \approx 69{,}31\\ \mathrm{L}.

Passo 6

Cálculo da diferença (quantos litros a menos o PFR requer):
\Delta V = V_{\mathrm{CMFR}}-V_{\mathrm{PFR}}=100{,}00-69{,}31=30{,}69\\ \mathrm{L}.
Interpretação curta: para remoção de 50\% com k=0{,}05\\ \mathrm{s^{-1}} e Q=5{,}0\\ \mathrm{L/s}, o PFR é mais eficiente (menor volume) que o CMFR; a economia aqui é cerca de 30{,}7\\ \mathrm{L}.

Passo 7

Resumo conceitual rápido (para fixar na prova):
  • Para reação de primeira ordem e mesma condição de entrada, um PFR sempre precisa de menor volume que um CSTR para atingir a mesma conversão (porque no PFR a concentração ao longo do reator é maior no início, levando a taxas locais maiores integradas mais favoráveis).
  • Fórmulas úteis que vale decorar: V_{\mathrm{CSTR}}=\frac{Q(1-X)}{kX},\qquad V_{\mathrm{PFR}}=-\frac{Q}{k}\ln X,onde X=\dfrac{C}{C_0} é a fração remanescente (ou usar conversão 1-X conforme o hábito).

Resposta

(a) V_{\mathrm{CMFR}}=100\\ \mathrm{L}; V_{\mathrm{PFR}}=69{,}31\\ \mathrm{L}
(b) V_{\mathrm{CMFR}}-V_{\mathrm{PFR}}=30{,}69\\ \mathrm{L}

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