Uma transformação é definida pelas equações x=u^2-v^2 e y=2 u v.
Determine a imagem do quadrado S=(u, v): 0 <= u <= 1,0 <= v <= 1.

Passo 1

A transformação é dada por
x = u^2 - v^2, y = 2uv
Aplicamos isso ao quadrado
S = (u,v):0<= u,v<=1.
Vamos achar a imagem mapeando cada lado de S e depois descrevendo a região resultante.

Passo 2

Mapeamos as quatro arestas de S:
  • Para v=0, 0<= u<=1:
    x = u^2, y = 0
    é o segmento de (0,0) a (1,0) no eixo x.
  • Para u=0, 0<= v<=1:
    x = -v^2, y = 0
    é o segmento de (0,0) a (-1,0).
  • Para u=1, 0<= v<=1:
    x = 1 - v^2, y = 2v
    é uma parábola ligando (1,0) a (0,2).
  • Para v=1, 0<= u<=1:
    x = u^2 - 1, y = 2u
    é outra parábola ligando (-1,0) a (0,2).

Passo 3

Para descrever a região interior, eliminamos o parâmetro em cada curva alta: ambas chegam em (0,2) quando y=2. Das equações das parábolas
  • u=1: substituindo v = y/2 em x = 1 - v^2 temos x = 1 - y^24
  • v=1: substituindo u = y/2 em x = u^2 - 1 temos x = y^24 - 1
Assim, para cada y entre 0 e 2, x fica entre essas duas curvas.

Passo 4

Concluímos que a imagem é a região no semiplano superior limitada abaixo pelo eixo x entre -1 e 1 e acima pelas duas parábolas. Em termos de desigualdades,
A imagem de S é
0 <= y <= 2, y^24 - 1 <= x <= 1 - y^24

Passo 5

Este conjunto descreve exatamente o domínio limitado pelo segmento de eixo real de -1,0) a (1,0) e pelas parábolas que se encontram em (0,2).

Resposta

A imagem é o conjunto
(x,y)in R^2:0<= y<=2,;tfracy^24-1<= x<=1-tfracy^24

Exercícios relacionados