Uma transformação é definida pelas equações
e
.
Determine a imagem do quadrado
.
Determine a imagem do quadrado
Passo 1
A transformação é dada por
Aplicamos isso ao quadrado
.
Vamos achar a imagem mapeando cada lado de e depois descrevendo a região resultante.
Vamos achar a imagem mapeando cada lado de
Passo 2
Mapeamos as quatro arestas de
:
-
Para
: é o segmento dea no eixo . -
Para
: é o segmento dea . -
Para
: é uma parábola ligandoa . -
Para
: é outra parábola ligandoa .
Passo 3
Para descrever a região interior, eliminamos o parâmetro em cada curva alta: ambas chegam em
quando
. Das equações das parábolas
-
: substituindo em temos -
: substituindo em temos
Assim, para cada
entre 0 e 2,
fica entre essas duas curvas.
Passo 4
Concluímos que a imagem é a região no semiplano superior limitada abaixo pelo eixo
entre
e
e acima pelas duas parábolas. Em termos de desigualdades,
A imagem de é
A imagem de
Passo 5
Este conjunto descreve exatamente o domínio limitado pelo segmento de eixo real de
a
e pelas parábolas que se encontram em
.
Resposta
A imagem é o conjunto