(2.0) Um tanque, com capacidade de 200 litros, contém originalmente 100 litros de água com uma solução de 20 quilos de sal. Está entrando no tanque, a uma taxa de 3 litros por minuto, água contendo 1 quilo de sal por litro, e permite-se que a mistura saia do tanque a uma taxia de 2 litros por minuto. Encontre a quantidade de sal no tanque em qualquer instante antes do momento em que a solução começa a transbordar. Encontre a concentração de sal (em quilos por litro) no tanque no instante em que vai a começar a transbordar.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de mistura onde entra solução a 3 L/min com concentração 1 kg/L e sai à 2 L/min com a concentração da mistura interna \bigl(S(t)/V(t)\bigr). Inicialmente há V(0)=100 L e S(0)=20 kg de sal, e a capacidade máxima é de 200 L. Vamos modelar o volume e a massa de sal por meio de equações diferenciais e depois achar a concentração no instante de transbordo.

Passo 2

A variação do volume V(t) é a diferença entre vazão de entrada e saída:
V'(t)=3-2=1\quad\Rightarrow\quad V(t)=100+t.
O tanque transborda quando V(t)=200, isto é, em t^*=100 min.

Passo 3

A massa de sal S(t) satisfaz
S'(t)=\underbrace{3\cdot 1}_{\text{entrada (kg/min)}}\;-\;\underbrace{2\cdot\frac{S(t)}{V(t)}}_{\text{saída (kg/min)}} =3-\frac{2\,S(t)}{100+t}.í

Passo 4

Esse é um ODE linear. O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\int\frac{2}{100+t}\,dt\Bigr)=(100+t)^2,
de modo que
\frac{d}{dt}\bigl[S(t)\,(100+t)^2\bigr]=(100+t)^2\bigl(3-\tfrac{2\,S}{100+t}\bigr)+2\,(100+t)\,S =3\,(100+t)^2.
Integramos:
S(t)\,(100+t)^2=\int 3\,(100+t)^2\,dt + C=(100+t)^3 + C.

Passo 5

Em t=0 temos S(0)=20, então
20\cdot100^2=20\,0000=(100)^3 + C=1\,000\,000 + C \quad\Rightarrow\quad C=-800\,000.
Logo
S(t)=\frac{(100+t)^3-800\,000}{(100+t)^2} =(100+t)-\frac{800\,000}{(100+t)^2}.

Passo 6

No tempo de transbordo t^*=100 min, o volume é V(100)=200 L e a massa de sal é
S(100)=200-\frac{800\,000}{200^2} =200-20=180\text{ kg}.

Passo 7

A concentração de sal em t^*=100 min vale
c=\frac{S(100)}{V(100)}=\frac{180}{200}=0,9\text{ kg/L}.

Resposta

A massa de sal em qualquer instante t\le100 min é
S(t)=\frac{(100+t)^3-800\,000}{(100+t)^2},
e a concentração no instante de transbordo é 0,9 kg/L.

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