(2.0) Um tanque, com capacidade de 200 litros, contém originalmente 100 litros de água com uma solução de 20 quilos de sal. Está entrando no tanque, a uma taxa de 3 litros por minuto, água contendo 1 quilo de sal por litro, e permite-se que a mistura saia do tanque a uma taxia de 2 litros por minuto. Encontre a quantidade de sal no tanque em qualquer instante antes do momento em que a solução começa a transbordar. Encontre a concentração de sal (em quilos por litro) no tanque no instante em que vai a começar a transbordar.
Passo 1
O enunciado descreve um tanque de mistura onde entra solução a 3 L/min com concentração 1 kg/L e sai à 2 L/min com a concentração da mistura interna \bigl(S(t)/V(t)\bigr). Inicialmente há V(0)=100 L e S(0)=20 kg de sal, e a capacidade máxima é de 200 L. Vamos modelar o volume e a massa de sal por meio de equações diferenciais e depois achar a concentração no instante de transbordo.
Passo 2
A variação do volume V(t) é a diferença entre vazão de entrada e saída:
V'(t)=3-2=1\quad\Rightarrow\quad V(t)=100+t.
O tanque transborda quando V(t)=200, isto é, em t^*=100 min.