Resolva uma das seguintes EDOs
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
O conteúdo principal é identificar se a equação é exata ou, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Definimos
Calculamos as parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Usamos a condição
Calculamos
Logo
satisfaz
cuja solução é
.
Passo 4
Multiplicamos a EDO original por
, obtendo
ou seja
com
Passo 5
Verificamos agora a exatidão:
logo a EDO é exata.
Passo 6
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos em
:
Derivando essa
em relação a
e igualando a
:
isso implica
, então
é constante.
Passo 7
A solução implícita vem de
:
Multiplicando por 2 para simplificar:
com
.
Resposta
A solução geral da EDO é
sendo
uma constante arbitrária.