Resolva uma das seguintes EDOs
\left(x y^{2}+y\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{2} y+3 x\right) \mathrm{d} y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
\bigl(xy^{2}+y\bigr)\,dx+\bigl(2x^{2}y+3x\bigr)\,dy=0.
O conteúdo principal é identificar se a equação é exata ou, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=xy^{2}+y, \quad N(x,y)=2x^{2}y+3x.
Calculamos as parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =2xy+1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =4xy+3.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu que dependa só de y. Usamos a condição
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\text{função só de }y.çãó
Calculamos
\frac{(4xy+3)-(2xy+1)}{xy^2+y} =\frac{2xy+2}{y(xy+1)} =\frac{2(xy+1)}{y(xy+1)} =\frac{2}{y}.
Logo \mu satisfaz
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=\frac{2}{y},
cuja solução é \mu(y)=y^2.

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por \mu(y)=y^2, obtendo
\bigl(xy^2+y\bigr)y^2\,dx+\bigl(2x^2y+3x\bigr)y^2\,dy=0
ou seja
M^*(x,y)\,dx+N^*(x,y)\,dy=0
com
M^*(x,y)=x y^4+y^3, \quad N^*(x,y)=2x^2y^3+3xy^2.

Passo 5

Verificamos agora a exatidão:
\frac{\partial M^*}{\partial y} =4xy^3+3y^2, \qquad \frac{\partial N^*}{\partial x} =4xy^3+3y^2,
logo a EDO é exata.

Passo 6

Buscamos uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} =M^*(x,y)=x y^4+y^3.
Integramos em x:
\Psi(x,y) =\int\bigl(xy^4+y^3\bigr)\,dx =\frac{x^2}{2}y^4+x y^3+h(y).
Derivando essa \Psi em relação a y e igualando a N^*:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} =2x^2y^3+3xy^2+h'(y) \stackrel!=2x^2y^3+3xy^2,
isso implica h'(y)=0, então h(y) é constante.

Passo 7

A solução implícita vem de \Psi(x,y)=C:
\frac{x^2}{2}y^4+x y^3=C.
Multiplicando por 2 para simplificar:
x^2y^4+2x y^3=C',
com C'=2C.

Resposta

A solução geral da EDO é
x^2y^4+2x y^3=C,
sendo C uma constante arbitrária.

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