Resolva uma das seguintes EDOs
\frac{d y}{d x}=-\frac{2 x y+y^{2}}{x^{2}+2 x y}

Passo 1

O enunciado dá a EDO
\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy + y^2}{x^2 + 2xy}
e pede para resolvê-la. Isso é uma equação homogênea de grau zero (numerador e denominador do mesmo grau), então vamos usar a substituição
y = v x
com v=v(x).

Passo 2

Com y=v x temos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo ambas as expressões em \frac{dy}{dx} = -\frac{2xy + y^2}{x^2 + 2xy} e usando y=v x, o lado direito vira
-\frac{2x(vx) + (vx)^2}{x^2 + 2x(vx)} = -\frac{2v x^2 + v^2 x^2}{x^2(1 + 2v)} = -\frac{v(2+v)}{1+2v}.
Logo a EDO fica
v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{v(2+v)}{1+2v}.

Passo 3

Isolando dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = -\frac{v(2+v)}{1+2v} - v = -\frac{v(2+v) + v(1+2v)}{1+2v} = -\frac{3v(1+v)}{1+2v}.
Então separam-se variáveis:
\frac{1+2v}{v(1+v)}\,dv = -3\,\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos dos dois lados:
\int\frac{1+2v}{v(1+v)}\,dv = \int\Bigl(\frac{1}{v} + \frac{1}{1+v}\Bigr)dv = \ln|v| + \ln|1+v| = \ln\bigl|v(1+v)\bigr|
e
\int -3\,\frac{dx}{x} = -3\ln|x| + C.
Assim
\ln\bigl|v(1+v)\bigr| = -3\ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|x^3 v(1+v)\bigr| = C
ou ainda
x^3\,v(1+v) = C',
com C'=\mathrm{e}^C.

Passo 5

Voltando a v=y/x, temos
v(1+v) = \frac{y}{x}\Bigl(1 + \frac{y}{x}\Bigr) = \frac{y(x+y)}{x^2}.
Logo
x^3\cdot\frac{y(x+y)}{x^2} = x\,y\,(x+y) = C',
que é a solução implícita geral.

Resposta

A solução geral implícita é
x\,y\,(x + y) = C,
com C constante de integração.

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