Qual a vazão de água de um tubo cuja velocidade máxima de escoamento seja de 1 \mathrm{m} / \mathrm{s} ? Considere \mathrm{V}=\mathrm{V}_{\text {max }} *\left(1-(\mathrm{r} / \mathrm{R})^{2}\right) para escoamento laminar e \mathrm{V}=\mathrm{V}_{\text {max }} para turbulento.
a) Diâmetro do tubo: 1 / 2 in (polegada);

Passo 1

O enunciado pede a vazão volumétrica (vazão de água) de um tubo quando a velocidade máxima de escoamento vale 1\\ \mathrm{m/s}. São dadas duas situações de perfil de velocidade:
  • Escoamento laminar: \;V(r)=V_{\text{max}}\left(1-\left(\dfrac{r}{R}\right)^2\right).
  • Escoamento turbulento: \;V(r)=V_{\text{max}} (perfil praticamente uniforme).
Informações numéricas fornecidas:
  • Diâmetro do tubo: \;D=\tfrac{1}{2}\\ \text{in}.
  • Velocidade máxima: \;V_{\text{max}}=1\\ \mathrm{m/s}.
O que preciso calcular:
  • A vazão volumétrica \;Q para o caso laminar e para o caso turbulento, usando o diâmetro dado.

Passo 2

Conceito e fórmula geral para vazão: a vazão volumétrica \;Q é a integral da velocidade sobre a área da seção transversal:
Q=\iint_{A} V\,\mathrm{d}A.
Para um tubo circular, é conveniente usar coordenadas polares. O elemento de área é \mathrm{d}A=2\pi r\,\mathrm{d}r quando já se integrou o ângulo (ou, mais usualmente, \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta e integra-se \theta de 0 a 2\pi).
Vou derivar as expressões de Q para os dois perfis.

Passo 3

Vazão para escoamento turbulento (perfil uniforme):
Se \;V(r)=V_{\text{max}} constante, então
Q_{\text{turb}}=V_{\text{max}}\cdot (\text{área})=V_{\text{max}}\cdot \pi R^{2}.á
Isto é intuitivo: velocidade constante multiplicada pela área da seção.

Passo 4

Vazão para escoamento laminar (perfil parabólico):
Usamos a integral em r:
Q_{\text{lam}}=\int_{0}^{R} V(r)\,2\pi r\,\mathrm{d}r =2\pi V_{\text{max}}\int_{0}^{R}\left(1-\left(\dfrac{r}{R}\right)^{2}\right)r\,\mathrm{d}r.
Calculando a integral passo a passo:
\int_{0}^{R}\left(1-\left(\dfrac{r}{R}\right)^{2}\right)r\,\mathrm{d}r =\int_{0}^{R} r\,\mathrm{d}r-\dfrac{1}{R^{2}}\int_{0}^{R} r^{3}\,\mathrm{d}r.
Agora as integrais básicas:
\int_{0}^{R} r\,\mathrm{d}r=\dfrac{1}{2}R^{2},\qquad \int_{0}^{R} r^{3}\,\mathrm{d}r=\dfrac{1}{4}R^{4}.
Substituindo:
\int_{0}^{R}\left(1-\left(\dfrac{r}{R}\right)^{2}\right)r\,\mathrm{d}r =\dfrac{1}{2}R^{2}-\dfrac{1}{R^{2}}\cdot\dfrac{1}{4}R^{4} =\dfrac{1}{2}R^{2}-\dfrac{1}{4}R^{2}=\dfrac{1}{4}R^{2}.
Logo
Q_{\text{lam}}=2\pi V_{\text{max}}\cdot \dfrac{1}{4}R^{2}=\dfrac{\pi}{2}V_{\text{max}}R^{2}.
Observação prática: para o perfil parabólico (laminar) a vazão é metade da vazão que se teria com velocidade uniforme igual a V_{\text{max}}; ou seja \;Q_{\text{lam}}=\tfrac{1}{2}Q_{\text{turb}}.

Passo 5

Conversão das unidades do diâmetro e cálculo numérico dos parâmetros geométricos:
Uma polegada vale \;1\\ \text{in}=0,0254\\ \mathrm{m}. Logo
D=\tfrac{1}{2}\\ \text{in}=0,5\times0,0254\\ \mathrm{m}=0,0127\\ \mathrm{m}.
O raio é
R=\dfrac{D}{2}=0,00635\\ \mathrm{m}.
Calcular R^{2}:
R^{2}=(0,00635)^{2}=4,03225\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 6

Calcular numericamente as vazões usando V_{\text{max}}=1\\ \mathrm{m/s}.
Primeiro a área da seção:
\pi R^{2}=\pi\cdot 4,03225\times10^{-5}=1,2666\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}\\ (\text{aprox.}).
Vazão turbulenta:
Q_{\text{turb}}=V_{\text{max}}\pi R^{2}=1\cdot 1,2666\times10^{-4}=1,2666\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Vazão laminar:
Q_{\text{lam}}=\dfrac{\pi}{2}V_{\text{max}}R^{2}=\dfrac{1}{2}\cdot 1,2666\times10^{-4}=6,333\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Conversões úteis:
1\\ \mathrm{m^{3}/s}=1000\\ \mathrm{L/s}.
Logo em litros por segundo:
Q_{\text{turb}}=0,1267\\ \mathrm{L/s}\quad(\text{aprox.}), \qquad Q_{\text{lam}}=0,0633\\ \mathrm{L/s}\quad(\text{aprox.}).
Também em \mathrm{L/min} (multiplicar por 60):
Q_{\text{turb}}\approx7,60\\ \mathrm{L/min},\qquad Q_{\text{lam}}\approx3,80\\ \mathrm{L/min}.

Resposta

Q_{\text{laminar}}=6,33\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s}\approx0,0633\\ \mathrm{L/s}
Q_{\text{turbulento}}=1,27\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/s}\approx0,1267\\ \mathrm{L/s}

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