Qual a vazão de água de um tubo cuja velocidade máxima de escoamento seja de 1
? Considere
para escoamento laminar e
para turbulento.
a) Diâmetro do tubo:
in (polegada);
a) Diâmetro do tubo:
Passo 1
O enunciado pede a vazão volumétrica (vazão de água) de um tubo quando a velocidade máxima de escoamento vale
. São dadas duas situações de perfil de velocidade:
- Escoamento laminar:
. - Escoamento turbulento:
(perfil praticamente uniforme).
Informações numéricas fornecidas:
- Diâmetro do tubo:
. - Velocidade máxima:
.
O que preciso calcular:
- A vazão volumétrica
para o caso laminar e para o caso turbulento, usando o diâmetro dado.
Passo 2
Conceito e fórmula geral para vazão: a vazão volumétrica
é a integral da velocidade sobre a área da seção transversal:
Para um tubo circular, é conveniente usar coordenadas polares. O elemento de área é
quando já se integrou o ângulo (ou, mais usualmente,
e integra-se
de
a
).
Vou derivar as expressões de
para os dois perfis.
Passo 3
Vazão para escoamento turbulento (perfil uniforme):
Se constante, então
Se
Isto é intuitivo: velocidade constante multiplicada pela área da seção.
Passo 4
Vazão para escoamento laminar (perfil parabólico):
Usamos a integral em :
Usamos a integral em
Calculando a integral passo a passo:
Agora as integrais básicas:
Substituindo:
Logo
Observação prática: para o perfil parabólico (laminar) a vazão é metade da vazão que se teria com velocidade uniforme igual a
; ou seja
.
Passo 5
Conversão das unidades do diâmetro e cálculo numérico dos parâmetros geométricos:
Uma polegada vale . Logo
Uma polegada vale
O raio é
Calcular
:
Passo 6
Calcular numericamente as vazões usando
.
Primeiro a área da seção:
Vazão turbulenta:
Vazão laminar:
Conversões úteis:
Logo em litros por segundo:
Também em
(multiplicar por 60):