Um fluido escoa em uma tubulação a uma determinada vazão. Para determinar a pressão na tubulação, os engenheiros fizeram um furo na tubulação e conectaram um manômetro de mercúrio, que media em condições normais de operação uma pressão de 10 mm de Hg . Dados: massa específica da água =1000 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}; massa específica do mercúrio =13600 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}; massa específica do etanol =790 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3};
a) O manômetro de mercúrio quebrou, o que o engenheiro responsável poderia fazer para estimar a pressão até que um novo manômetro fosse comprado? Dica, ele conhece as propriedades do fluido que escoa dentro da tubulação.
b) Se o fluido em escoamento for a água, qual a altura que o fluido chegaria nas condições normais de operação?
c) Se o fluido em escoamento for etanol, qual a altura que o fluido chegaria nas condições normais de operação?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) uma sugestão prática do que o engenheiro poderia fazer imediatamente para estimar a pressão depois que o manômetro de mercúrio quebrou;
  • (b) se o fluido dentro da tubulação for água, determinar a altura que esse fluido alcançaria num tubo vertical nas condições normais de operação (isto é, equivalente à leitura de 10\\ \text{mm} de Hg);
  • (c) mesma coisa do item (b) se o fluido for etanol.
Informações fornecidas importantes:
  • Leitura original do manômetro: 10\\ \text{mm} de Hg (mercúrio).
  • Massa específica (densidade) do mercúrio: \rho_{\text{Hg}}=13600\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Massa específica da água: \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á.
  • Massa específica do etanol: \rho_{\text{etanol}}=790\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Usaremos a gravidade aproximada g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A pressão exercida por uma coluna de fluido em repouso está dada pela lei hidrostática
p=\rho g h,
onde:
  • \,p é a pressão absoluta (ou diferença de pressão medida pela coluna) em pascal ( \mathrm{Pa});
  • \rho é a massa específica do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}});
  • h é a altura da coluna do fluido em metros ( \mathrm{m}).
  • Interpretação prática: a leitura de 10\\ \text{mm} de Hg significa que a pressão na tubulação é igual à pressão gerada por uma coluna de mercúrio de altura h_{\text{Hg}}=10\\ \text{mm}=0,010\\ \mathrm{m}. Se quisermos saber qual altura h_{x} de outro fluido x (água ou etanol) corresponde à mesma pressão, basta igualar as pressões:
\rho_{\text{Hg}} g h_{\text{Hg}}=\rho_{x} g h_{x}.
Como g aparece em ambos os lados, ele cancela, resultando a fórmula prática
h_{x}=\frac{\rho_{\text{Hg}}}{\rho_{x}}\,h_{\text{Hg}}.
Isto significa que a altura necessária é proporcional à razão das densidades.

Passo 3

Calcular a pressão numérica correspondente a 10\\ \text{mm} de Hg (opcional, é didático):
p=\rho_{\text{Hg}}\,g\,h_{\text{Hg}}=13600\cdot9,81\cdot0,010.
Fazendo a conta,
p=13600\cdot0,0981=1334,16\\ \mathrm{Pa}.
Observação: só para referência; nas contas posteriores usaremos a razão de densidades que evita propagar g.

Passo 4

Calcular a altura que a água alcançaria. Usando a fórmula do passo 2:
h_{\text{água}}=\frac{\rho_{\text{Hg}}}{\rho_{\text{água}}}\,h_{\text{Hg}} =\frac{13600}{1000}\cdot0,010.áá
Calculando:
h_{\text{água}}=13,6\cdot0,010=0,136\\ \mathrm{m}=13,6\\ \text{cm}.á
Explicação curta: como a água é muito menos densa que o mercúrio, a coluna de água precisa ser mais alta para exercer a mesma pressão.

Passo 5

Calcular a altura que o etanol alcançaria. Mesma fórmula:
h_{\text{etanol}}=\frac{\rho_{\text{Hg}}}{\rho_{\text{etanol}}}\,h_{\text{Hg}} =\frac{13600}{790}\cdot0,010.
Calculando:
\frac{13600}{790}\approx17,2152\quad\Rightarrow\quad h_{\text{etanol}}\approx0,17215\\ \mathrm{m}=17,2\\ \text{cm}.

Passo 6

Resposta prática e recomendações (explicação para o item (a), detalhada e útil na prova/obra):
  • Uma solução imediata é usar um tubo vertical simples (piezômetro) conectado ao furo da tubulação para formar uma coluna do próprio fluido em escoamento; a altura medida h dessa coluna, em relação ao ponto de conexão, dá diretamente a pressão via p=\rho g h. Esta é a solução mais direta quando o fluido na tubulação é compatível com contato com o ar e com o tubo (ex.: água).
  • Alternativa: recolocar um manômetro de coluna cheia, mas preenchê-lo temporariamente com outro líquido conhecido (por exemplo água ou etanol) e usar a relação do passo 2 para converter a leitura na altura equivalente de mercúrio. Para isso precisa-se conhecer a densidade do líquido substituto (o enunciado diz que o engenheiro as conhece).
  • Observações práticas importantes: verificar miscibilidade/contaminação entre fluidos, verificar se o fluido tem pressão de vapor alta (pode borbulhar em tubos abertos e invalidar a medida), e garantir que a coluna máxima esperada caiba no tubo (no nosso caso as alturas são pequenas, logo cabe).

Resposta

(a) Usar um tubo vertical (piezômetro) com o próprio fluido ou usar um manômetro preenchido temporariamente com outro líquido conhecido e converter pela relação h_{x}=(\rho_{\text{Hg}}/\rho_{x})\,h_{\text{Hg}}.
(b) h_{\text{água}}=0,136\\ \mathrm{m}=13,6\\ \text{cm}á
(c) h_{\text{etanol}}=0,172\\ \mathrm{m}=17,2\\ \text{cm}

Exercícios relacionados