- Um tanque cilíndrico com extremidades esféricas foi construído com aço laminado a quente com
. O diâmetro externo do tanque é de 300 mm e a parede tem 20 mm de espessura. A pressão pode flutuar de 0 a um valor máximo desconhecido. Para um fator de segurança em fadiga para vida infinita igual a 4 e confiabilidade de
, qual a pressão máxima que o tanque pode ser submetido?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a pressão máxima permitida:
- Tensão última do aço laminado a quente:
. - Diâmetro externo do tanque:
. - Espessura da parede:
. - A pressão interna varia ciclicamente entre
e (ou seja, flutuação de a ). - Deseja-se vida infinita com fator de segurança em fadiga igual a
e confiabilidade .
Pergunta: qual éque satisfaz essas condições?
Dados geométricos úteis (a partir do enunciado):
O raio médio (se necessário) é
.
Passo 2
Decisão do método e assunções (explicação didática):
- Para tensão causada por pressão interna num cilindro de parede relativamente espessa (aqui
), usamos a solução elástica de Lame para cilindro de parede espessa — ela dá a tensão circunferencial (hoop) máxima no superfície interna. Isso é melhor que a aproximação de casca fina quando não é pequeno. - Como a pressão varia de
a , a tensão no material varia de a . Portanto o ciclo tem tensão média e amplitude alternante . - Em fadiga para vida infinita usamos o limite de resistência à fadiga (endurance limit) modificado:
, onde é o limite de resistência básico (peça de laboratório, polida, 1 in. diâmetro) e os são fatores de modificação (superfície, tamanho, carregamento, temperatura, confiabilidade, etc.). Para segurança de projeto pedimos que a tensão alternante seja tal que, com o fator de segurança pedido, não se atinja fadiga.
Passo 3
Formulação das equações essenciais:
- Lame: tensão circunferencial (hoop) na superfície interna (
) para pressão interna e pressão externa zero é
Esta é a tensão máxima de interesse (em MPa quando
em MPa e raios em mesma unidade).
- Ciclo de pressão
gera amplitude alternante de tensão
- Condição de segurança em fadiga para vida infinita com fator de segurança
(aqui ) impõe
Substituindo
obtemos condição sobre
:
- Assim, conhecendo
podemos obter a tensão máxima permissível e então a pressão máxima por inversão da fórmula de Lame:
Passo 4
Avaliação do limite básico de resistência à fadiga
e escolha dos fatores de modificação (explicação pedagógica):
- Para aços com
moderado, uma regra prática (usada em Shigley e cursos de projeto) é tomar o limite básico de resistência à fadiga para corpo de prova polido rotativo como
Justificativa: muitos aços apresentam endurance limit aproximadamente metade da resistência última em condições ideais de superfície.
- Calculando:
Agora os fatores de modificação. Em prova normalmente usamos tabelas padronizadas; aqui vou adotar valores típicos e explicar a escolha:
- Fator de superfície
: como o material é “laminado a quente” (surface finish razoavelmente rugoso), a superfície é pior que polida. Um valor típico prático é . (Esse valor vem de tabelas que relacionam acabamento superficial e .) - Fator de tamanho
: para elementos de pedaço grosso (diâmetro efetivo grande, aqui diâmetro médio ), o efeito de tamanho reduz o limite. Um valor razoável para peças maciças desta ordem é . - Fator de carregamento
: para carregamento estático de tração (membrana de pressão) tomamos . - Fator de temperatura
: assumimos temperatura ambiente, então . - Fator de confiabilidade
: para 99{,}99% de confiabilidade usa-se um fator menor que 1; tabelas padrão dão algo da ordem de . (Tabelas: 50%→1{,}00, 90%→0{,}897, 95%→0{,}868, 99%→0{,}814, 99{,}9%→0{,}753, 99{,}99%→≈0{,}70.) - Fator miscellâneo
(assumimos ausência de efeitos adicionais).
Observação empática: sei que parece muita tabela e escolha de constantes — em prova normalmente a tabela é fornecida; aqui escolhi valores típicos usados em problemas didáticos para não te deixar na mão.
Passo 5
Cálculo do
modificado:
Substituindo os valores escolhidos:
Façamos a conta passo a passo:
Passo 6
Determinar a tensão circunferencial permissível e converter em pressão máxima:
- Com fator de segurança em fadiga
,
(a razão 2 aparece porque
e exigimos
).
Substituindo
Substituindo
- Agora usamos a fórmula de Lame invertida para obter
:
Calculemos os quadrados dos raios (em
):
A razão é
Finalmente:
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida:
- Em unidades práticas,
corresponde a aproximadamente (1 MPa = 10 bar). - Comentário pedagógico: o valor numérico depende da escolha dos fatores
. Em prova normalmente esses fatores vêm tabelados; o processo (calcular , aplicar fatores, exigir , usar Lame para conectar tensão à pressão) é o essencial. Se na sua prova as tabelas derem valores ligeiramente diferentes, você repetirá exatamente os mesmos passos com aqueles números e obterá a resposta correta conforme as tabelas fornecidas.