1. Um tanque cilíndrico com extremidades esféricas foi construído com aço laminado a quente com \sigma_{\mathrm{ut}}=380 \mathrm{MPa}. O diâmetro externo do tanque é de 300 mm e a parede tem 20 mm de espessura. A pressão pode flutuar de 0 a um valor máximo desconhecido. Para um fator de segurança em fadiga para vida infinita igual a 4 e confiabilidade de 99,99 \%, qual a pressão máxima que o tanque pode ser submetido?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a pressão máxima permitida:
  • Tensão última do aço laminado a quente: \sigma_{\mathrm{ut}}=380\\ \mathrm{MPa}.
  • Diâmetro externo do tanque: D_o=300\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura da parede: t=20\\ \mathrm{mm}.
  • A pressão interna varia ciclicamente entre 0 e p_{\max} (ou seja, flutuação de 0 a p_{\max}).
  • Deseja-se vida infinita com fator de segurança em fadiga igual a 4 e confiabilidade 99{,}99\%.
    Pergunta: qual é p_{\max} que satisfaz essas condições?
Dados geométricos úteis (a partir do enunciado):
R_o=\frac{D_o}{2}=150\\ \mathrm{mm},\qquad R_i=R_o-t=150-20=130\\ \mathrm{mm}.
O raio médio (se necessário) é R_m=\tfrac{R_o+R_i}{2}=140\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Decisão do método e assunções (explicação didática):
  • Para tensão causada por pressão interna num cilindro de parede relativamente espessa (aqui t/R_m\approx 20/140\approx0{,}143>0{,}1), usamos a solução elástica de Lame para cilindro de parede espessa — ela dá a tensão circunferencial (hoop) máxima no superfície interna. Isso é melhor que a aproximação de casca fina quando t/R não é pequeno.
  • Como a pressão varia de 0 a p_{\max}, a tensão no material varia de 0 a \sigma_{\max}. Portanto o ciclo tem tensão média \sigma_m=\tfrac{\sigma_{\max}}{2} e amplitude alternante \sigma_a=\tfrac{\sigma_{\max}}{2}.
  • Em fadiga para vida infinita usamos o limite de resistência à fadiga (endurance limit) modificado: \displaystyle S_e = S_e'\cdot k_a k_b k_c k_d k_e k_f, onde S_e' é o limite de resistência básico (peça de laboratório, polida, 1 in. diâmetro) e os k são fatores de modificação (superfície, tamanho, carregamento, temperatura, confiabilidade, etc.). Para segurança de projeto pedimos que a tensão alternante seja tal que, com o fator de segurança pedido, não se atinja fadiga.

Passo 3

Formulação das equações essenciais:
  • Lame: tensão circunferencial (hoop) na superfície interna ( r=R_i) para pressão interna p e pressão externa zero é
\sigma_\theta(R_i)=p\;\frac{R_o^2+R_i^2}{R_o^2-R_i^2}.
Esta é a tensão máxima de interesse (em MPa quando p em MPa e raios em mesma unidade).
  • Ciclo de pressão 0\to p gera amplitude alternante de tensão
\sigma_a=\frac{\sigma_\theta(R_i)}{2}.
  • Condição de segurança em fadiga para vida infinita com fator de segurança N_f (aqui N_f=4) impõe
\sigma_a \le \frac{S_e}{N_f}.
Substituindo \sigma_a=\sigma_\theta/2 obtemos condição sobre \sigma_\theta:
\frac{\sigma_\theta}{2} \le \frac{S_e}{N_f}\quad\Longrightarrow\quad \sigma_\theta \le \frac{2S_e}{N_f}.
  • Assim, conhecendo S_e podemos obter a tensão máxima permissível e então a pressão máxima por inversão da fórmula de Lame:
p_{\max}=\sigma_\theta^{\mathrm{perm}}\cdot\frac{R_o^2-R_i^2}{R_o^2+R_i^2}.

Passo 4

Avaliação do limite básico de resistência à fadiga S_e' e escolha dos fatores de modificação (explicação pedagógica):
  • Para aços com \sigma_{\mathrm{ut}} moderado, uma regra prática (usada em Shigley e cursos de projeto) é tomar o limite básico de resistência à fadiga para corpo de prova polido rotativo como
S_e' \approx 0{,}5\,\sigma_{\mathrm{ut}}.
Justificativa: muitos aços apresentam endurance limit aproximadamente metade da resistência última em condições ideais de superfície.
  • Calculando:
S_e' = 0{,}5\cdot 380\\ \mathrm{MPa}=190\\ \mathrm{MPa}.
Agora os fatores de modificação. Em prova normalmente usamos tabelas padronizadas; aqui vou adotar valores típicos e explicar a escolha:
  • Fator de superfície k_a: como o material é “laminado a quente” (surface finish razoavelmente rugoso), a superfície é pior que polida. Um valor típico prático é k_a\approx 0{,}65. (Esse valor vem de tabelas que relacionam acabamento superficial e \sigma_{\mathrm{ut}}.)
  • Fator de tamanho k_b: para elementos de pedaço grosso (diâmetro efetivo grande, aqui diâmetro médio D_m=2R_m=280\\ \mathrm{mm}), o efeito de tamanho reduz o limite. Um valor razoável para peças maciças desta ordem é k_b\approx 0{,}88.
  • Fator de carregamento k_c: para carregamento estático de tração (membrana de pressão) tomamos k_c=1{,}0.
  • Fator de temperatura k_d: assumimos temperatura ambiente, então k_d=1{,}0.
  • Fator de confiabilidade k_e: para 99{,}99% de confiabilidade usa-se um fator menor que 1; tabelas padrão dão algo da ordem de k_e\approx 0{,}70. (Tabelas: 50%→1{,}00, 90%→0{,}897, 95%→0{,}868, 99%→0{,}814, 99{,}9%→0{,}753, 99{,}99%→≈0{,}70.)
  • Fator miscellâneo k_f=1 (assumimos ausência de efeitos adicionais).
Observação empática: sei que parece muita tabela e escolha de constantes — em prova normalmente a tabela é fornecida; aqui escolhi valores típicos usados em problemas didáticos para não te deixar na mão.

Passo 5

Cálculo do S_e modificado:
S_e = S_e'\,k_a k_b k_c k_d k_e k_f.
Substituindo os valores escolhidos:
S_e = 190\\ \mathrm{MPa}\times 0{,}65\times 0{,}88\times 1{,}0\times 1{,}0\times 0{,}70\times 1{,}0.
Façamos a conta passo a passo:
0{,}65\times 0{,}88 = 0{,}572,\qquad 0{,}572\times 0{,}70 = 0{,}4004.
S_e = 190\times 0{,}4004 \approx 76{,}08\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Determinar a tensão circunferencial permissível e converter em pressão máxima:
  • Com fator de segurança em fadiga N_f=4,
\sigma_\theta^{\mathrm{perm}}=\frac{2S_e}{N_f}
(a razão 2 aparece porque \sigma_a=\sigma_\theta/2 e exigimos \sigma_a\le S_e/N_f).
Substituindo
\sigma_\theta^{\mathrm{perm}}=\frac{2\cdot 76{,}08}{4}= \frac{152{,}16}{4}=38{,}04\\ \mathrm{MPa}.
  • Agora usamos a fórmula de Lame invertida para obter p_{\max}:
p_{\max}=\sigma_\theta^{\mathrm{perm}}\cdot\frac{R_o^2-R_i^2}{R_o^2+R_i^2}.
Calculemos os quadrados dos raios (em \mathrm{mm}^2):
R_o^2=150^2=22500,\qquad R_i^2=130^2=16900.
R_o^2+R_i^2=22500+16900=39400,\qquad R_o^2-R_i^2=22500-16900=5600.
A razão é
\frac{R_o^2-R_i^2}{R_o^2+R_i^2}=\frac{5600}{39400}\approx 0{,}14213.
Finalmente:
p_{\max}=38{,}04\\ \mathrm{MPa}\times 0{,}14213 \approx 5{,}41\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida:
  • Em unidades práticas, 5{,}41\\ \mathrm{MPa} corresponde a aproximadamente 54{,}1\\ \mathrm{bar} (1 MPa = 10 bar).
  • Comentário pedagógico: o valor numérico depende da escolha dos fatores k_a,k_b,k_e. Em prova normalmente esses fatores vêm tabelados; o processo (calcular S_e', aplicar fatores, exigir \sigma_a\le S_e/N_f, usar Lame para conectar tensão à pressão) é o essencial. Se na sua prova as tabelas derem valores ligeiramente diferentes, você repetirá exatamente os mesmos passos com aqueles números e obterá a resposta correta conforme as tabelas fornecidas.

Resposta

p_{\max}\approx 5{,}41\\ \mathrm{MPa}

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