Um tanque é completamente esvaziado através de um orifício de fundo ( \mathrm{C}_{\mathrm{C}}=0,60; \mathrm{C}_{\mathrm{v}}=1,00 ) em 60 minutos. Calcule o novo tempo de esvaziamento após adaptarmos ao orifício um bocal cilíndrico de mesmo diâmetro interno, porém \operatorname{com} \mathrm{C}_{\mathrm{C}}=1,00 \mathrm{e} \mathrm{cv}=0,8. \boldsymbol{(} \mathbf{t} \boldsymbol{=} \mathbf{4 5 ~ m i n} \boldsymbol{)}

Passo 1

O enunciado diz que um tanque é completamente esvaziado através de um orifício de fundo nas seguintes condições iniciais:
\mathrm{C}_{\mathrm{C}}=0{,}60, \mathrm{C}_{\mathrm{v}}=1{,}00 e o tempo de esvaziamento é t_1 = 60 minutos.
Depois adaptamos ao orifício um bocal cilíndrico (mesmo diâmetro interno) cujos coeficientes passam a ser \mathrm{C}_{\mathrm{C}}=1{,}00 e \mathrm{C}_{\mathrm{v}}=0{,}80. A pergunta é: qual o novo tempo de esvaziamento t_2?
Informações relevantes dadas:
  • Tempo inicial t_1 = 60\\ \text{min}.
  • Para o caso 1: \mathrm{C}_{\mathrm{C},1}=0{,}60, \mathrm{C}_{\mathrm{v},1}=1{,}00.
  • Para o caso 2: \mathrm{C}_{\mathrm{C},2}=1{,}00, \mathrm{C}_{\mathrm{v},2}=0{,}80.
  • O diâmetro interno do bocal é igual ao do orifício original (logo a área do orifício A não muda).
  • Suponho que a altura inicial do líquido e a área do tanque permanecem iguais (enunciado implícito ao comparar tempos).
O que se pede: calcular t_2, o novo tempo de esvaziamento.

Passo 2

Vamos entender a fórmula que liga descarga e variação do nível. Para um orifício a descarga instantânea (vazão) é dada por
Q = C_d\,A_0\,\sqrt{2 g h},
onde:
  • Q é a vazão volumétrica (m³/s),
  • C_d é o coeficiente de descarga (adimensional),
  • A_0 é a área interna do orifício (m²),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s²),
  • h é a altura do líquido acima do orifício (m).
Explicando os coeficientes:
  • \mathrm{C}_{\mathrm{C}} é o coeficiente de contração (razão entre a área efetiva da vena contratada e a área do orifício),
  • \mathrm{C}_{\mathrm{v}} é o coeficiente de velocidade (razão entre a velocidade real e a velocidade de Torricelli \sqrt{2gh}),
  • o coeficiente de descarga é C_d = \mathrm{C}_{\mathrm{C}}\cdot \mathrm{C}_{\mathrm{v}}.
Isso significa que a vazão efetiva é reduzida tanto por contração como por perdas de velocidade.

Passo 3

Agora escrevemos a equação de balanço de volume para o tanque (assumindo seção transversal do tanque constante A_T e nível h(t)):
\frac{dV}{dt} = -Q \quad\Rightarrow\quad A_T\frac{dh}{dt} = -C_d A_0 \sqrt{2 g h}.
Isolando a derivada:
\frac{dh}{dt} = -\frac{C_d A_0 \sqrt{2g}}{A_T}\,\sqrt{h}.
Aqui expliquei: a variação do volume é a área do tanque vezes a variação do nível; a saída de líquido reduz esse volume com vazão Q.

Passo 4

Resolvemos a equação diferencial por separação de variáveis. Colocando todos os termos com h num lado e t do outro:
\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{C_d A_0 \sqrt{2g}}{A_T}\,dt.
Integramos desde h(0)=h_0 até h(t_f)=0 e de t=0 até t=t_f:
\int_{h_0}^{0} h^{-1/2}\,dh = -\frac{C_d A_0 \sqrt{2g}}{A_T}\int_{0}^{t_f} dt.
A integral do lado esquerdo é
\int_{h_0}^{0} h^{-1/2}\,dh = \left[2\sqrt{h}\right]_{h_0}^{0} = 0 - 2\sqrt{h_0} = -2\sqrt{h_0}.
Logo
-2\sqrt{h_0} = -\frac{C_d A_0 \sqrt{2g}}{A_T}\,t_f.
Cancelando o sinal negativo e isolando t_f:
t_f = \frac{2 A_T}{C_d A_0 \sqrt{2g}}\,\sqrt{h_0}.
Observação importante: todos os fatores à direita, exceto C_d, dependem de geometria do tanque, área do orifício, g e nível inicial h_0. Se essas grandezas não mudam entre os dois casos, só C_d muda.

Passo 5

Como no problema o diâmetro interno do bocal é o mesmo (logo A_0 inalterada), o nível inicial h_0 e a área do tanque A_T também são os mesmos, concluímos que o tempo de esvaziamento é inversamente proporcional ao coeficiente de descarga C_d. Assim:
t \propto \frac{1}{C_d}\quad\Rightarrow\quad \frac{t_1}{t_2}=\frac{C_{d,2}}{C_{d,1}}
ou, mais útil para calcular t_2,
t_2 = t_1\frac{C_{d,1}}{C_{d,2}}.

Passo 6

Calculamos os coeficientes de descarga dos dois casos:
C_{d,1} = \mathrm{C}_{\mathrm{C},1}\cdot\mathrm{C}_{\mathrm{v},1} = 0{,}60\times 1{,}00 = 0{,}60,
C_{d,2} = \mathrm{C}_{\mathrm{C},2}\cdot\mathrm{C}_{\mathrm{v},2} = 1{,}00\times 0{,}80 = 0{,}80.
Agora aplicamos a relação para t_2:
t_2 = 60\\ \text{min}\times\frac{0{,}60}{0{,}80} = 60\times 0{,}75 = 45\\ \text{min}.
Pequeno comentário motivador: deu certinho! O tempo diminui porque o coeficiente de descarga aumentou de 0{,}60 para 0{,}80.

Resposta

45 min

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