Um tanque é completamente esvaziado através de um orifício de fundo (
;
) em 60 minutos. Calcule o novo tempo de esvaziamento após adaptarmos ao orifício um bocal cilíndrico de mesmo diâmetro interno, porém
.
Passo 1
O enunciado diz que um tanque é completamente esvaziado através de um orifício de fundo nas seguintes condições iniciais:
,
e o tempo de esvaziamento é
minutos.
Depois adaptamos ao orifício um bocal cilíndrico (mesmo diâmetro interno) cujos coeficientes passam a ser
e
. A pergunta é: qual o novo tempo de esvaziamento
?
Informações relevantes dadas:
- Tempo inicial
. - Para o caso 1:
, . - Para o caso 2:
, . - O diâmetro interno do bocal é igual ao do orifício original (logo a área do orifício
não muda). - Suponho que a altura inicial do líquido e a área do tanque permanecem iguais (enunciado implícito ao comparar tempos).
O que se pede: calcular
, o novo tempo de esvaziamento.
Passo 2
Vamos entender a fórmula que liga descarga e variação do nível. Para um orifício a descarga instantânea (vazão) é dada por
onde:
-
é a vazão volumétrica (m³/s), -
é o coeficiente de descarga (adimensional), -
é a área interna do orifício (m²), -
é a aceleração da gravidade (m/s²), -
é a altura do líquido acima do orifício (m).
Explicando os coeficientes:
-
é o coeficiente de contração (razão entre a área efetiva da vena contratada e a área do orifício), -
é o coeficiente de velocidade (razão entre a velocidade real e a velocidade de Torricelli ), - o coeficiente de descarga é
.
Isso significa que a vazão efetiva é reduzida tanto por contração como por perdas de velocidade.
Passo 3
Agora escrevemos a equação de balanço de volume para o tanque (assumindo seção transversal do tanque constante
e nível
):
Isolando a derivada:
Aqui expliquei: a variação do volume é a área do tanque vezes a variação do nível; a saída de líquido reduz esse volume com vazão
.
Passo 4
Resolvemos a equação diferencial por separação de variáveis. Colocando todos os termos com
num lado e
do outro:
Integramos desde
até
e de
até
:
A integral do lado esquerdo é
Logo
Cancelando o sinal negativo e isolando
:
Observação importante: todos os fatores à direita, exceto
, dependem de geometria do tanque, área do orifício,
e nível inicial
. Se essas grandezas não mudam entre os dois casos, só
muda.
Passo 5
Como no problema o diâmetro interno do bocal é o mesmo (logo
inalterada), o nível inicial
e a área do tanque
também são os mesmos, concluímos que o tempo de esvaziamento é inversamente proporcional ao coeficiente de descarga
. Assim:
ou, mais útil para calcular
,
Passo 6
Calculamos os coeficientes de descarga dos dois casos:
Agora aplicamos a relação para
:
Pequeno comentário motivador: deu certinho! O tempo diminui porque o coeficiente de descarga aumentou de
para
.
Resposta
45 min