Um tanque retangular de base
, contém uma lâmina d’água de 1,2 metros de altura. Sabendo-se que para esvaziar o tanque através de um orifício de 100 mm , localizado em seu fundo, gasta-se 10 minutos, calcule o coeficiente de descarga desse orifício.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que temos):
- Um tanque retangular com base
. - Lâmina d’água inicial
. - Orifício localizado no fundo, diâmetro
. - Tempo para esvaziar o tanque
.
O que se pede: - Calcular o coeficiente de descarga do orifício, chamado aqui de
.
Passo 2
Modelo físico e fórmulas básicas (explicação didática):
- Quando a água sai por um orifício no fundo, a velocidade ideal de saída, sem perdas, vem da equação de Torricelli, que é derivada do princípio de Bernoulli. Essa velocidade ideal é
, onde: -
é a aceleração da gravidade (usar ), -
é a altura da coluna de água acima do orifício em metros.
-
- Na prática há perdas (viscosidade, contração do jato), por isso introduzimos o coeficiente de descarga
(adimensional, tipicamente entre 0,5 e 0,8), e a velocidade real de saída é
- A vazão volumétrica que sai pelo orifício é
onde
é a área do orifício (em
).
- Conservação de massa (continuidade) para o tanque: a variação do volume do tanque é igual à vazão que sai, isto é
Como o tanque tem seção horizontal constante,
com
área da base do tanque. Portanto
Explico cada variável:
-
: área da base do tanque ( ), -
: altura da água no tempo ( ), -
: área do orifício ( ), -
: tempo ( ), -
: coeficiente de descarga (o que queremos).
Passo 3
Transformando a equação diferencial e separando variáveis:
Da equação
Da equação
isolamos
e
:
Agora vamos integrar dos valores iniciais até o esvaziamento:
- Em
: . - Em
: .
Integramos ambos os lados:
Passo 4
Resolvendo as integrais (mostrando passo a passo):
- A primitiva de
é . Assim a integral do lado esquerdo é
- O lado direito é simplesmente
.
Igualando os dois resultados:
Cancelamos o sinal negativo e isolamos
:
Essa é a expressão que nos permite calcular
a partir dos dados.
Passo 5
Calcular as áreas e converter unidades (tudo em SI):
- Área da base do tanque:
- Diâmetro do orifício:
. - Área do orifício (círculo):
- Tempo:
- Altura inicial:
- Gravidade:
Passo 6
Substituindo na fórmula e calculando numericamente (contas detalhadas):
Recordando a fórmula
Recordando a fórmula
vamos calcular os termos:
-
-
- Numerador:
- Denominador:
- Dividindo:
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais (valor típico de coeficiente de descarga), obtemos
.
Passo 7
Interpretação e incentivo rápido:
- O valor encontrado
é plausível: orifícios com borda cortante tipicamente têm entre e . Então o resultado está coerente. - Você conseguiu seguir desde o modelo físico até a integral — na prova faça as contas com calma e mostre cada etapa como fizemos aqui. Vai dar certo!