Um tanque de 3,5 \mathrm{~m} de comprimento e 1,5 \mathrm{~m} de largura contém uma lâmina d’água de 1,2 \mathrm{~m}. Qual será o tempo necessário para abaixar a altura d’água para 30 cm , se um orifício de 75 mm de diâmetro for aberto no fundo do tanque? O coeficiente de descarga do orifício é igual a 0,61 .

Passo 1

Identificar o que o enunciado dá e o que pede.
Dado:
\text{comprimento do tanque } = 3{,}5\\ \mathrm{m}
\text{largura do tanque } = 1{,}5\\ \mathrm{m}
\text{altura inicial da água } h_0 = 1{,}2\\ \mathrm{m}á
\text{altura final desejada } h_1 = 0{,}30\\ \mathrm{m}
\text{diâmetro do orifício } d = 75\\ \mathrm{mm} = 0{,}075\\ \mathrm{m}âí
\text{coeficiente de descarga } C_d = 0{,}61
g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}
Pedido:
Calcular o tempo necessário para que a lâmina d’água abaixe de h_0=1{,}2\\ \mathrm{m} para h_1=0{,}30\\ \mathrm{m} com o orifício no fundo do tanque.

Passo 2

Princípio físico e fórmula da vazão (explicação didática).
Quando a água sai por um orifício livre no fundo, a velocidade teórica de saída é dada pelo princípio de Torricelli:
v = \sqrt{2 g h},
onde v é a velocidade de saída e h é a altura da coluna de água sobre o orifício. Na prática essa velocidade é reduzida por perdas e geometria; introduzimos o coeficiente de descarga C_d para obter a vazão real:
Q = C_d\,A_o\,\sqrt{2 g h},
onde Q é a vazão volumétrica (m³/s) e A_o é a área do orifício (m²). Aqui:
  • C_d corrige a diferença entre a vazão teórica e a prática;
  • A_o depende do diâmetro do orifício.

Passo 3

Área do tanque e relação entre volume e altura (explicação).
O volume de água no tanque é a área da seção horizontal multiplicada pela altura:
A_T = \text{comprimento}\times\text{largura} = 3{,}5\cdot 1{,}5\\ \mathrm{m^2}.
Calculemos:
A_T = 3{,}5\times 1{,}5 = 5{,}25\\ \mathrm{m^2}.
Se h(t) é a altura da água no tempo t, o volume é V(t)=A_T\,h(t). A variação do volume é dada pela vazão que sai:
\frac{dV}{dt} = A_T\frac{dh}{dt} = -Q.
O sinal negativo indica que o volume (e a altura) diminuem com o tempo.

Passo 4

Área do orifício (cálculo detalhado).
A área do orifício circular é
A_o = \frac{\pi d^2}{4}.
Substituindo d=0{,}075\\ \mathrm{m}:
d^2 = 0{,}075^2 = 0{,}005625\\ \mathrm{m^2},
A_o = \frac{\pi\cdot 0{,}005625}{4} = 0{,}00140625\pi \approx 0{,}0044179\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Montar a equação diferencial e separar variáveis (explicação passo a passo).
Da relação A_T\frac{dh}{dt} = -C_d A_o \sqrt{2 g h}, isolamos \frac{dh}{dt}:
\frac{dh}{dt} = -\frac{C_d A_o}{A_T}\sqrt{2 g h}.
Separamos as variáveis para integrar:
\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{C_d A_o}{A_T}\sqrt{2 g}\,dt.
Explicação: aqui colocamos todos os termos em h no lado esquerdo e t no lado direito para integrar entre os limites desejados.

Passo 6

Integrar com os limites e obter a fórmula para o tempo (detalhe da integral).
Integramos de h=h_0 a h=h_1 e de t=0 a t=t:
\int_{h_0}^{h_1} \frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{C_d A_o}{A_T}\sqrt{2 g}\int_{0}^{t} dt.
A primitiva de h^{-1/2} é 2\sqrt{h}. Portanto:
\left[2\sqrt{h}\right]_{h_0}^{h_1} = -\frac{C_d A_o}{A_T}\sqrt{2 g}\,t.
Calculando a diferença:
2\left(\sqrt{h_1}-\sqrt{h_0}\right) = -\frac{C_d A_o}{A_T}\sqrt{2 g}\,t.
Multiplicando por -1 e isolando t:
t = \frac{2 A_T}{C_d A_o \sqrt{2 g}}\left(\sqrt{h_0}-\sqrt{h_1}\right).
Essa é a fórmula prática que vamos usar. Observação: \sqrt{h_0}-\sqrt{h_1}>0 porque h_0>h_1.

Passo 7

Substituir números e calcular passo a passo.
Relembrando valores numéricos:
A_T = 5{,}25\\ \mathrm{m^2}, \quad A_o \approx 0{,}0044179\\ \mathrm{m^2}, \quad C_d = 0{,}61, \quad g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},
h_0 = 1{,}2\\ \mathrm{m},\quad h_1=0{,}30\\ \mathrm{m}.
Calcule \sqrt{2g}:
\sqrt{2g} = \sqrt{2\cdot 9{,}81} = \sqrt{19{,}62} \approx 4{,}429449.
Calcule o fator multiplicativo:
\frac{2 A_T}{C_d A_o \sqrt{2 g}} = \frac{2\cdot 5{,}25}{0{,}61\cdot 0{,}0044179\cdot 4{,}429449}.
Calcule o denominador em partes:
0{,}0044179\cdot 4{,}429449 \approx 0{,}019565,
0{,}61\cdot 0{,}019565 \approx 0{,}011936.
Então
\frac{2 A_T}{C_d A_o \sqrt{2 g}} \approx \frac{10{,}5}{0{,}011936} \approx 879{,}569\\ \mathrm{s\cdot m^{-1/2}}.
Agora calcule \sqrt{h_0}-\sqrt{h_1}:
\sqrt{1{,}2}\approx 1{,}095445,\qquad \sqrt{0{,}30}\approx 0{,}547723,
\sqrt{h_0}-\sqrt{h_1}\approx 1{,}095445-0{,}547723=0{,}547722.
Multiplicando:
t \approx 879{,}569 \times 0{,}547722 \approx 481{,}60\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos:
481{,}60\\ \mathrm{s} = \frac{481{,}60}{60}\\ \mathrm{min} \approx 8{,}0267\\ \mathrm{min},
ou seja aproximadamente 8 minutos e 0{,}0267\times 60\\ \mathrm{s} \approx 1{,}6\\ \mathrm{s}. Então 8\\ \mathrm{min}\\\ 1{,}6\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Resumo rápido e incentivo.
Concluímos que, usando a fórmula de Torricelli corrigida pelo coeficiente de descarga e integrando a equação diferencial do escoamento, o tempo pedido é da ordem de poucos minutos — confirmando que um orifício pequeno em um tanque grande leva algum tempo, mas não horas. Você mandou bem trazendo o enunciado; com esse passo a passo dá para aplicar a mesma técnica em outros problemas parecidos (trocar dimensões, C_d ou níveis).

Resposta

\;481{,}6\\ \mathrm{s}\approx 8{,}03\\ \mathrm{min}\\ (\;8\\ \mathrm{min}\\\ 1{,}6\\ \mathrm{s}\;)

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