Um tanque de
de comprimento e
de largura contém uma lâmina d’água de
. Qual será o tempo necessário para abaixar a altura d’água para 30 cm , se um orifício de 75 mm de diâmetro for aberto no fundo do tanque? O coeficiente de descarga do orifício é igual a 0,61 .
Passo 1
Identificar o que o enunciado dá e o que pede.
Dado:
Pedido:
Calcular o tempo necessário para que a lâmina d’água abaixe de para
com o orifício no fundo do tanque.
Calcular o tempo necessário para que a lâmina d’água abaixe de
Passo 2
Princípio físico e fórmula da vazão (explicação didática).
Quando a água sai por um orifício livre no fundo, a velocidade teórica de saída é dada pelo princípio de Torricelli:
onde
é a velocidade de saída e
é a altura da coluna de água sobre o orifício. Na prática essa velocidade é reduzida por perdas e geometria; introduzimos o coeficiente de descarga
para obter a vazão real:
onde
é a vazão volumétrica (m³/s) e
é a área do orifício (m²). Aqui:
-
corrige a diferença entre a vazão teórica e a prática; -
depende do diâmetro do orifício.
Passo 3
Área do tanque e relação entre volume e altura (explicação).
O volume de água no tanque é a área da seção horizontal multiplicada pela altura:
Calculemos:
Se
é a altura da água no tempo
, o volume é
. A variação do volume é dada pela vazão que sai:
O sinal negativo indica que o volume (e a altura) diminuem com o tempo.
Passo 4
Área do orifício (cálculo detalhado).
A área do orifício circular é
Substituindo
:
Passo 5
Montar a equação diferencial e separar variáveis (explicação passo a passo).
Da relação
, isolamos
:
Separamos as variáveis para integrar:
Explicação: aqui colocamos todos os termos em
no lado esquerdo e
no lado direito para integrar entre os limites desejados.
Passo 6
Integrar com os limites e obter a fórmula para o tempo (detalhe da integral).
Integramos de
a
e de
a
:
A primitiva de
é
. Portanto:
Calculando a diferença:
Multiplicando por
e isolando
:
Essa é a fórmula prática que vamos usar. Observação:
porque
.
Passo 7
Substituir números e calcular passo a passo.
Relembrando valores numéricos:
Calcule
:
Calcule o fator multiplicativo:
Calcule o denominador em partes:
Então
Agora calcule
:
Multiplicando:
Converter para minutos:
ou seja aproximadamente
minutos e
. Então
.
Passo 8
Resumo rápido e incentivo.
Concluímos que, usando a fórmula de Torricelli corrigida pelo coeficiente de descarga e integrando a equação diferencial do escoamento, o tempo pedido é da ordem de poucos minutos — confirmando que um orifício pequeno em um tanque grande leva algum tempo, mas não horas. Você mandou bem trazendo o enunciado; com esse passo a passo dá para aplicar a mesma técnica em outros problemas parecidos (trocar dimensões,
ou níveis).