Um tanque contém 100 L de água pura. Uma solução com concentração constante de e sai à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque após 15 minutos.
Passo 1
O enunciado descreve um tanque com volume constante de
,L, onde entra uma solução com concentração
,g/L à vazão de
,L/min e sai à mesma taxa. Queremos a quantidade de sal
(em gramas) no tanque após
minutos. Esse é um problema clássico de mistura, resolvido por uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 2
Vamos montar a equação diferencial para
. A taxa de variação de sal é
- entrada de sal: concentração
vazão
- saída de sal: concentração no tanque
vazão
Logo,
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear
O termo homogêneo é
com solução
. Uma solução particular constante
satisfaz
Assim, a solução geral é
Passo 4
Usamos a condição inicial
(começa com água pura):
Logo
Passo 5
Para
minutos,
Resposta
A quantidade de sal após
minutos é