Um tanque contém 100 L de água pura. Uma solução com concentração constante de e sai à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque após 15 minutos.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque com volume constante de 100,L, onde entra uma solução com concentração 3,g/L à vazão de 2,L/min e sai à mesma taxa. Queremos a quantidade de sal y(t) (em gramas) no tanque após 15 minutos. Esse é um problema clássico de mistura, resolvido por uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 2

Vamos montar a equação diferencial para y(t). A taxa de variação de sal é
  • entrada de sal: concentração times vazão
in = 3 ,gL times 2 ,Lmin = 6 ,gmin,
  • saída de sal: concentração no tanque times vazão
out = y(t)100 ,L times 2 ,Lmin = 0,02 ,y(t) ,gmin
Logo,
dydt = 6 - 0,02 ,y

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear
dydt +0,02,y =6
O termo homogêneo é dydt+0,02y=0 com solução yh=C,e^-0.02t. Uma solução particular constante yp satisfaz
0+0,02,yp=6Longrightarrow yp=60,02=300
Assim, a solução geral é
y(t)=300 +C,e^-0.02t

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=0 (começa com água pura):
0 =300 +C,e^0 Longrightarrow C=-300
Logo
y(t)=300l(1 -e^-0.02tr)

Passo 5

Para t=15 minutos,
y(15)=300l(1 -e^-0.02cdot 15r) =300l(1 -e^-0.3r)
approx
300l(1 -0,740818r) approx300times0,259182 approx77,8 g

Resposta

A quantidade de sal após 15 minutos é
y(15)=300l(1 -e^-0.3r)approx77,8 g

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