Resolva \left\{\begin{array}{c}3 x+2 y+z=1 \\\\ 5 x+3 y+4 z=2 \\\ x+y-z=1\end{array}\right. usando escalonamento.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 3x + 2y + z = 1,\\\\ 5x + 3y + 4z = 2,\\\ x + y - z = 1 \end{cases}
usando escalonamento (eliminação de Gauss). Vamos montar a matriz aumentada e triangularizar para depois fazer a substituição regressiva.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada:
\left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 1\\\\ 5 & 3 & 4 & 2\\\\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{array} \right]
Para evitar frações desde o início, trocamos a linha 1 com a linha 3 (que já tem coeficiente 1 em x):
\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 5 & 3 & 4 & 2\\\\ 3 & 2 & 1 & 1 \end{array} \right]

Passo 3

Usamos a primeira linha como pivô para zerar x nas linhas 2 e 3: R_2 \leftarrow R_2 - 5R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1. Isso dá
\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & -2 & 9 & -3\\\\ 0 & -1 & 4 & -2 \end{array} \right]

Passo 4

Agora usamos o pivô -2 da segunda linha para zerar o coeficiente -1 em R_3: R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac12\,R_2. Assim obtemos
\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & -2 & 9 & -3\\\\ 0 & 0 & -\tfrac12 & -\tfrac12 \end{array} \right]
Da terceira linha fica
-\tfrac12\,z = -\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad z = 1.

Passo 5

Fazendo substituição regressiva:
Da segunda linha,
-2y + 9z = -3 \quad\Longrightarrow\quad -2y + 9\cdot1 = -3 \quad\Longrightarrow\quad -2y = -12 \quad\Longrightarrow\quad y = 6.
Da primeira linha,
x + y - z = 1 \quad\Longrightarrow\quad x + 6 - 1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = -4.

Resposta

(x,y,z) = (-4,\,6,\,1)

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