Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5000 l de água. Água salgada com 0,03 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 251 / min. A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora? Considere e^-320=0,87.

Passo 1

O problema é de mistura em tanques, um caso clássico de equação diferencial linear: temos um tanque com volume constante de 5000 L e massa de sal variável no tempo. Para resolver, vamos usar o balanço de massa e a fórmula padrão para equações lineares de 1ª ordem.

Passo 2

O fluxo de entrada de sal é dado por taxa de volume vezes concentração: entra água salgada a 251 L/min com 0,03 kg/L, então a massa de sal que entra por minuto é 0,03 times 251 = 7,53 kg/min. Como o volume no tanque é constante e sai à mesma vazão, a concentração de saída é x(t)/5000 kg/L, dando fluxo de saída de sal l(x/5000r)times 251.

Passo 3

O balanço de massa nos dá a equação diferencial:
dxdt = (entrada) - (saída) = 7.53 - 2515000,x,í
que é uma EDO linear no formato x'+kx = C, com k=251/5000 e C=7.53.

Passo 4

Resolvendo a EDO, a solução geral é
x(t) = Ck + l(x(0)-Ckr)e^-kt
Aqui x(0)=20 kg, C/k = 7.53/(251/5000)=7.53timestfrac5000251=150 kg e k=251/5000. Então
x(t) = 150 - (150-20)e^-2515000t = 150 - 130,e^-2515000t

Passo 5

Agora avaliamos em t=30 min: o expoente é -tfrac2515000times30 = -1,506. Usando a aproximação para expoentes, obtemos e^-1,506approx0,22. Logo,
x(30) = 150 - 130times0,22 approx 150 - 28,6 = 121,4 kg

Passo 6

Portanto, depois de meia hora há cerca de 121 kg de sal no tanque.

Resposta

A quantidade de sal após meia hora é aproximadamente 121 kg.

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