Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5000 l de água. Água salgada com
de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
. A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora? Considere
.
Passo 1
O problema é de mistura em tanques, um caso clássico de equação diferencial linear: temos um tanque com volume constante de 5000 L e massa de sal variável no tempo. Para resolver, vamos usar o balanço de massa e a fórmula padrão para equações lineares de 1ª ordem.
Passo 2
O fluxo de entrada de sal é dado por taxa de volume vezes concentração: entra água salgada a 251 L/min com 0,03 kg/L, então a massa de sal que entra por minuto é
kg/min. Como o volume no tanque é constante e sai à mesma vazão, a concentração de saída é
kg/L, dando fluxo de saída de sal
.
Passo 3
O balanço de massa nos dá a equação diferencial:
que é uma EDO linear no formato
, com
e
.
Passo 4
Resolvendo a EDO, a solução geral é
Aqui
kg,
kg e
. Então
Passo 5
Agora avaliamos em
min: o expoente é
. Usando a aproximação para expoentes, obtemos
. Logo,
Passo 6
Portanto, depois de meia hora há cerca de 121 kg de sal no tanque.
Resposta
A quantidade de sal após meia hora é aproximadamente 121 kg.