Um tanque contém 500 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. A mistura é drenada a uma taxa de 10 litros por minuto. Quando o tanque estará vazio? R: A(t) = 1000-10t+c(100-t)^2 onde c = -1/10 e t = 100 minutos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tanque que tem 500 litros de água pura. A gente vai precisar usar conceitos de taxas de fluxo e volume para resolver isso. Basicamente, vamos calcular quanto tempo leva para o tanque esvaziar, considerando as entradas e saídas de líquido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as taxas de entrada e saída:
  • Entrada: Uma solução salina com 2g de sal por litro está sendo bombeada para o tanque a uma taxa de 5 litros por minuto.
  • Saída: A mistura está saindo do tanque a uma taxa de 10 litros por minuto.

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa líquida de saída. Isso significa subtrair a taxa de entrada da taxa de saída:
Taxa líquida = Taxa de saída - Taxa de entrada = 10, litros/min - 5, litros/min = 5, litros/min íí
Então, a água está saindo do tanque a uma taxa líquida de 5 litros por minuto.

Passo 4

Sabemos que o tanque tem inicialmente 500 litros de água. Para descobrir quanto tempo leva para todo esse volume ser drenado, dividimos o volume inicial pela taxa líquida de saída:
t = Volume inicialTaxa líquida = 500, litros5, litros/min = 100, minutos í

Resposta

O tanque estará vazio após 100 minutos.

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