O ângulo entre os planos pi1: -x + z - 12 = 0 pi2: x + y - 10 = 0 mede:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ângulo entre dois planos dados pelas equações $ \pi_1: -x + z - 12 = 0 $ e $ \pi_2: x + y - 10 = 0 $. O conteúdo envolvido aqui é Geometria Analítica, especificamente o cálculo do ângulo entre planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como identificar os vetores normais dos planos e usar a fórmula do ângulo entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é formado pelos coeficientes das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $ na equação do plano.
Para $ \pi_1: -x + z - 12 = 0 $, o vetor normal $ \vec{n_1} $ é:
Para $ \pi_2: x + y - 10 = 0 $, o vetor normal $ \vec{n_2} $ é:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. A fórmula é:
Onde:
- $ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} $ é o produto escalar dos vetores.
- $ |\vec{n_1}| $ e $ |\vec{n_2}| $ são os módulos dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar $ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} $:
Passo 5
Em seguida, calculamos os módulos dos vetores $ \vec{n_1} $ e $ \vec{n_2} $:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
Passo 7
Para encontrar o ângulo $ \theta $, aplicamos a função arco cosseno:
No entanto, como o ângulo entre dois planos é considerado o menor ângulo possível, utilizamos o complemento para obter o ângulo agudo:
Resposta
O ângulo entre os planos $ \pi_1 $ e $ \pi_2 $ mede
.