O ângulo entre os planos pi1: -x + z - 12 = 0 pi2: x + y - 10 = 0 mede:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ângulo entre dois planos dados pelas equações $ \pi_1: -x + z - 12 = 0 $ e $ \pi_2: x + y - 10 = 0 $. O conteúdo envolvido aqui é Geometria Analítica, especificamente o cálculo do ângulo entre planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como identificar os vetores normais dos planos e usar a fórmula do ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é formado pelos coeficientes das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $ na equação do plano.
Para $ \pi_1: -x + z - 12 = 0 $, o vetor normal $ \vec{n_1} $ é:
x
Para $ \pi_2: x + y - 10 = 0 $, o vetor normal $ \vec{n_2} $ é:
y

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. A fórmula é:
cos theta = n1 cdot n2|n1| , |n2|
Onde:
  • $ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} $ é o produto escalar dos vetores.
  • $ |\vec{n_1}| $ e $ |\vec{n_2}| $ são os módulos dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar $ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} $:
n1 cdot n2

Passo 5

Em seguida, calculamos os módulos dos vetores $ \vec{n_1} $ e $ \vec{n_2} $:
n1
n2

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
cos theta = -1raiz2 times raiz2 = -12

Passo 7

Para encontrar o ângulo $ \theta $, aplicamos a função arco cosseno:
theta
No entanto, como o ângulo entre dois planos é considerado o menor ângulo possível, utilizamos o complemento para obter o ângulo agudo:
theta = arccos(-12) = 120^circ

Resposta

O ângulo entre os planos $ \pi_1 $ e $ \pi_2 $ mede pi1 .

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