Determine os limites a seguir, por análise. Em seguida, verifique se eles existem destacando a causa.
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte:
- Calcular o limite por análise
- Verificar se o limite “existe” (no sentido de limite finito) e destacar a causa dessa existência ou não existência.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - O ponto de interesse é
, e a aproximação é pela direita (isto é, ). - Observação óbvia: o denominador tem o fator
que se anula em .
Passo 2
Avaliar os limites das partes que compõem a função quando
.
Calcular o limite do numerador:
Calcular o limite de
:
Calcular o limite de
quando se aproxima por direita:
ou seja,
tende a zero por valores positivos porque, aproximando-se de
pela direita, tem-se
e portanto
.
Passo 3
Interpretação qualitativa a partir dos limites das partes:
- O numerador tende a uma constante não nula:
. - O fator
tende a (positiva). - O fator
tende a vindo de valores positivos.
Portanto o denominador tende a
. Assim a fração tem forma do tipo (constante não nula) dividido por (quantidade que vai para zero). Isso sugere que o valor absoluto da fração tende para
. Para saber o sinal (se vai para
ou
) precisamos analisar os sinais próximos de
.
Passo 4
Análise de sinais dos fatores para
próximo a
vindo da direita:
-
: para temos , logo é negativo. -
: é sempre positivo, e em particular próximo de . -
: para temos e pequeno.
Multiplicando os sinais do denominador:
é positivo (positivo vezes positivo). Assim o sinal da fração é o sinal do numerador, que é negativo. Logo a expressão tende para valores negativos com magnitude crescendo sem limite quando
.
Passo 5
Análise por mudança de variável para ver o comportamento de magnitude (mostra porque diverge):
Faça
. Quando
temos
e
. Reescrevendo a função em
:
Para
pequeno e positivo,
é um número próximo de
e permanece positivo (por exemplo, se
então
). Assim, para
a fração tem comportamento assintótico
Como
quando
, segue que a expressão original tende para
.
Passo 6
Conclusão sobre existência do limite:
- Em termos de limite finito (número real), o limite não existe, porque a função diverge em magnitude para infinito.
- Em termos da reta estendida (números reais mais
e ), o limite existe e é .
Causa da divergência: há uma descontinuidade essencial do tipo assíntota vertical em
provocada pelo fator
no denominador que se anula com multiplicidade
enquanto o numerador não se anula em
. Isso cria um polo simples que, ao aproximar-se por
, leva a função a
.