Determine os limites a seguir, por análise. Em seguida, verifique se eles existem destacando a causa.
\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \frac{x-1}{x^{2}(x+2)}\,),

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte:
  • Calcular o limite por análise
\lim_{x\to -2^{+}} \frac{x-1}{x^{2}(x+2)}.
  • Verificar se o limite “existe” (no sentido de limite finito) e destacar a causa dessa existência ou não existência.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é \dfrac{x-1}{x^{2}(x+2)}.
  • O ponto de interesse é x=-2, e a aproximação é pela direita (isto é, x\to-2^{+}).
  • Observação óbvia: o denominador tem o fator (x+2) que se anula em x=-2.

Passo 2

Avaliar os limites das partes que compõem a função quando x\to-2^{+}.
Calcular o limite do numerador:
\lim_{x\to -2^{+}} (x-1) = -2-1 = -3.
Calcular o limite de x^{2}:
\lim_{x\to -2^{+}} x^{2} = (-2)^{2} = 4.
Calcular o limite de (x+2) quando se aproxima por direita:
\lim_{x\to -2^{+}} (x+2) = 0^{+},
ou seja, (x+2) tende a zero por valores positivos porque, aproximando-se de -2 pela direita, tem-se x>-2 e portanto x+2>0.

Passo 3

Interpretação qualitativa a partir dos limites das partes:
  • O numerador tende a uma constante não nula: -3.
  • O fator x^{2} tende a 4 (positiva).
  • O fator (x+2) tende a 0 vindo de valores positivos.
Portanto o denominador tende a 4\cdot 0^{+}=0^{+}. Assim a fração tem forma do tipo (constante não nula) dividido por (quantidade que vai para zero). Isso sugere que o valor absoluto da fração tende para +\infty. Para saber o sinal (se vai para +\infty ou -\infty) precisamos analisar os sinais próximos de x=-2^{+}.

Passo 4

Análise de sinais dos fatores para x próximo a -2 vindo da direita:
  • x-1: para x\approx -2 temos x-1\approx -3, logo é negativo.
  • x^{2}: é sempre positivo, e em particular próximo de 4.
  • x+2: para x\to -2^{+} temos x+2>0 e pequeno.
Multiplicando os sinais do denominador: x^{2}(x+2) é positivo (positivo vezes positivo). Assim o sinal da fração é o sinal do numerador, que é negativo. Logo a expressão tende para valores negativos com magnitude crescendo sem limite quando x\to-2^{+}.

Passo 5

Análise por mudança de variável para ver o comportamento de magnitude (mostra porque diverge):
Faça h = x+2. Quando x\to -2^{+} temos h\to 0^{+} e x = -2 + h. Reescrevendo a função em h:
\frac{x-1}{x^{2}(x+2)}=\frac{(-2+h)-1}{(-2+h)^{2}\,h}=\frac{-3+h}{(4-4h+h^{2})\,h}.
Para h pequeno e positivo, 4-4h+h^{2} é um número próximo de 4 e permanece positivo (por exemplo, se 0<h<1 então 4-4h+h^{2}>0). Assim, para h\to 0^{+} a fração tem comportamento assintótico
\frac{-3+h}{(4-4h+h^{2})\,h}\sim \frac{-3}{4h}.
Como \dfrac{-3}{4h}\to -\infty quando h\to 0^{+}, segue que a expressão original tende para -\infty.

Passo 6

Conclusão sobre existência do limite:
  • Em termos de limite finito (número real), o limite não existe, porque a função diverge em magnitude para infinito.
  • Em termos da reta estendida (números reais mais +\infty e -\infty), o limite existe e é -\infty.
Causa da divergência: há uma descontinuidade essencial do tipo assíntota vertical em x=-2 provocada pelo fator (x+2) no denominador que se anula com multiplicidade 1 enquanto o numerador não se anula em x=-2. Isso cria um polo simples que, ao aproximar-se por x>-2, leva a função a -\infty.

Resposta

-\infty

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