Determine os limites a seguir, por análise. Em seguida, verifique se eles existem destacando a causa.
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite unilaterial
Informações dadas e relevantes:
- A função envolvida é
. - A função
está definida somente para . Portanto, só faz sentido quando , isto é, para . - O limite é pelo lado direito de
( ), ou seja, consideramos valores de com que se aproximam de .
A tarefa: calcular o limite e verificar se ele “existe”, destacando a causa (por que converge, diverge, ou é indeterminado).
Passo 2
Trocar a variável para simplificar a análise. Faça a substituição
Quando
temos
(ou seja,
tende a zero vindo de valores positivos). A função torna-se
e o limite pedido equivale a
Essa mudança é só uma reescrita que deixa claro que o comportamento que importa é o de
quando
vai para zero pela direita.
Passo 3
Entender o comportamento de
quando
. Intuição e propriedade básica:
- A função
é crescente para . - Quando
é pequeno e positivo (próximo de ), o valor de é um número muito negativo. Na prática “vai para menos infinito” quando se aproxima de .
Para um argumento formal estilo definição de divergência para
: seja qualquer número real
. Tomar
(note que
). Se
então
Isso mostra que, por mais negativo que se escolha
, existe uma vizinhança
em que
fica abaixo de
. Em termos de limite:
não se aproxima de um número real finito quando
; em vez disso ela decresce sem limite e atinge arbitrariamente grandes negativos. Portanto
Passo 4
Voltar à variável original
. Como
, a conclusão para
implica diretamente para
:
Verificação de existência: esse limite existe no sentido estendido (na reta real estendida) e o valor é
. Porém, não existe como limite finito em
(ou seja, não há um número real
com
). Causa: o argumento
tende a
, e
diverge para
quando
. Observação adicional: o limite bilateral
não existe nem como infinito nem como real, porque a função não está definida para
(logo não há limite pela esquerda).