Determine os limites a seguir, por análise. Em seguida, verifique se eles existem destacando a causa.
\lim _{x \rightarrow 5^{+}} \ln (x-5).

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite unilaterial
\lim_{x\to 5^{+}} \ln(x-5).
Informações dadas e relevantes:
  • A função envolvida é \ln(x-5).
  • A função \ln(t) está definida somente para t>0. Portanto, \ln(x-5) só faz sentido quando x-5>0, isto é, para x>5.
  • O limite é pelo lado direito de 5 ( x\to5^{+} ), ou seja, consideramos valores de x com x>5 que se aproximam de 5.
    A tarefa: calcular o limite e verificar se ele “existe”, destacando a causa (por que converge, diverge, ou é indeterminado).

Passo 2

Trocar a variável para simplificar a análise. Faça a substituição
t = x-5.
Quando x\to5^{+} temos t\to 0^{+} (ou seja, t tende a zero vindo de valores positivos). A função torna-se \ln t e o limite pedido equivale a
\lim_{t\to 0^{+}} \ln t.
Essa mudança é só uma reescrita que deixa claro que o comportamento que importa é o de \ln t quando t vai para zero pela direita.

Passo 3

Entender o comportamento de \ln t quando t\to 0^{+}. Intuição e propriedade básica:
  • A função \ln t é crescente para t>0.
  • Quando t é pequeno e positivo (próximo de 0), o valor de \ln t é um número muito negativo. Na prática \ln t “vai para menos infinito” quando t se aproxima de 0^{+}.
Para um argumento formal estilo definição de divergência para -\infty: seja qualquer número real A. Tomar \delta = e^{A} (note que \delta>0). Se 0<t<\delta então
\ln t < \ln \delta = A.
Isso mostra que, por mais negativo que se escolha A, existe uma vizinhança 0<t<\delta em que \ln t fica abaixo de A. Em termos de limite: \ln t não se aproxima de um número real finito quando t\to0^{+}; em vez disso ela decresce sem limite e atinge arbitrariamente grandes negativos. Portanto
\lim_{t\to 0^{+}} \ln t = -\infty.

Passo 4

Voltar à variável original x. Como t=x-5, a conclusão para t implica diretamente para x:
\lim_{x\to 5^{+}} \ln(x-5) = -\infty.
Verificação de existência: esse limite existe no sentido estendido (na reta real estendida) e o valor é -\infty. Porém, não existe como limite finito em \mathbb{R} (ou seja, não há um número real L com \lim_{x\to5^{+}}\ln(x-5)=L). Causa: o argumento x-5 tende a 0^{+}, e \ln t diverge para -\infty quando t\to0^{+}. Observação adicional: o limite bilateral \lim_{x\to5}\ln(x-5) não existe nem como infinito nem como real, porque a função não está definida para x\le 5 (logo não há limite pela esquerda).

Resposta

-\infty

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