Um tanque contém inicialmente 8 litros (L) de água pura. Uma solução clorada a uma taxa de 9 \mathrm{~L} / \mathrm{min}, contendo 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{L} de NaClo é injetada nesse tanque. A solução é bem homogeneizada e é retirada do tanque a uma taxa de 4 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. Determine a concentração no tanque após 12 minutos.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Inicialmente há \,8\\ \mathrm{L}\, de água pura no tanque.
  • Taxa de entrada de solução: \,9\\ \mathrm{L/min}\,.
  • Concentração da solução que entra: \,0{,}5\\ \mathrm{kg/L}\, de NaClO (massa por litro).
  • Taxa de saída do tanque: \,4\\ \mathrm{L/min}\,.
  • A solução no tanque fica bem homogeneizada a qualquer instante.
  • Pergunta: determinar a concentração no tanque após \,12\\ \mathrm{min}\,.

Passo 2

Definições e quantidades imediatas:
  • Seja y(t) a massa de NaClO (em kg) no tanque no instante t (minutos).
  • O volume no tanque V(t) (em L) varia porque a taxa de entrada é diferente da saída. A taxa líquida de variação do volume é (9-4)=5\\ \mathrm{L/min}. Portanto
V(t)=8+5t.
  • A concentração dentro do tanque é c(t)=\dfrac{y(t)}{V(t)} (em \mathrm{kg/L}).
  • Condição inicial: o tanque começa com água pura, logo
y(0)=0.

Passo 3

Montando a equação de balanço (razão de variação da massa de soluto):
  • Regra: \dfrac{dy}{dt}= taxa de entrada de massa - taxa de saída de massa.
  • Taxa de entrada de massa = (vazão de entrada) \times (concentração da entrada) =9\times 0{,}5=4{,}5\\ \mathrm{kg/min}.
  • Taxa de saída de massa = (vazão de saída) \times (concentração no tanque) =4\cdot \dfrac{y(t)}{V(t)} = \dfrac{4y(t)}{8+5t}.
  • Logo a equação diferencial é
\frac{dy}{dt}=4{,}5-\frac{4y}{8+5t},
com y(0)=0.

Passo 4

Identificando o tipo de equação e escrevendo na forma padrão:
  • A equação é linear de primeira ordem. Colocando na forma \dfrac{dy}{dt}+p(t)y=q(t) obtemos
\frac{dy}{dt}+\frac{4}{8+5t}\,y=4{,}5.
  • Aqui p(t)=\dfrac{4}{8+5t} e q(t)=4{,}5.

Passo 5

Método do fator integrante (explicando a ideia):
  • Para resolver \dfrac{dy}{dt}+p(t)y=q(t) multiplicamos por um fator integrante \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt} de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(t)y(t).
  • Calculamos
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{4}{8+5t}\,dt\right).
  • Fazer a integral: com u=8+5t, du=5\,dt, então \int \frac{4}{8+5t}\,dt=\frac{4}{5}\ln(8+5t).
  • Portanto
\mu(t)=\exp\!\left(\frac{4}{5}\ln(8+5t)\right)=(8+5t)^{4/5}.

Passo 6

Multiplicando a EDO pelo fator integrante e integrando:
  • Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
(8+5t)^{4/5}\frac{dy}{dt}+\frac{4}{8+5t}(8+5t)^{4/5}y=\;4{,}5(8+5t)^{4/5}.
  • O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\!\left(y(t)\,(8+5t)^{4/5}\right)=4{,}5(8+5t)^{4/5}.
  • Integramos em t:
y(t)\,(8+5t)^{4/5}=\int 4{,}5(8+5t)^{4/5}\,dt + C.
  • Para calcular a integral, use u=8+5t, dt=\dfrac{du}{5}. Então
\int 4{,}5(8+5t)^{4/5}\,dt = 4{,}5\cdot\frac{1}{5}\int u^{4/5}\,du = 0{,}9\cdot\frac{u^{9/5}}{9/5}.
  • Simplificando 0{,}9\cdot\frac{5}{9}=0{,}5. Assim a integral vale 0{,}5\,u^{9/5}=0{,}5(8+5t)^{9/5}.

Passo 7

Aplicando a condição inicial e isolando y(t):
  • A expressão integrada é
y(t)\,(8+5t)^{4/5}=0{,}5(8+5t)^{9/5}+C.
  • Em t=0, y(0)=0 e 8+5\cdot 0=8, daí
0 = 0{,}5\cdot 8^{9/5}+C \quad\Rightarrow\quad C=-0{,}5\cdot 8^{9/5}.
  • Substituindo de volta e dividindo por (8+5t)^{4/5} obtemos
y(t)=0{,}5(8+5t)-0{,}5\;8^{9/5}(8+5t)^{-4/5}.
  • A concentração c(t)=\dfrac{y(t)}{V(t)}=\dfrac{y(t)}{8+5t}. Dividindo a expressão por 8+5t resulta numa forma mais simples:
c(t)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{8}{8+5t}\right)^{9/5}.
  • Observação: essa forma mostra que quando t\to\infty a segunda parcela tende a zero e c(t)\to 0{,}5\\ \mathrm{kg/L}, como era de esperar (concentração da entrada).

Passo 8

Avaliação no tempo t=12 minutos (cálculo exato e numérico):
  • Primeiro calcule 8+5\cdot 12=68.
  • Usando a fórmula simplificada:
c(12)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{8}{68}\right)^{9/5}.
  • Simplificando a fração \dfrac{8}{68}=\dfrac{2}{17}, obtemos a forma exata
c(12)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{17}\right)^{9/5}\\ \mathrm{kg/L}.
  • Avaliando numericamente \left(\dfrac{2}{17}\right)^{9/5}\approx 0{,}0206, então
c(12)\approx 0{,}5-0{,}5\times 0{,}0206 \approx 0{,}4897\\ \mathrm{kg/L}.

Resposta

\displaystyle c(12)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{17}\right)^{9/5}\\ \mathrm{kg/L}\n
\displaystyle c(12)\approx 0{,}4897\\ \mathrm{kg/L}

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