Um tanque contém inicialmente 8 litros (L) de água pura. Uma solução clorada a uma taxa de
, contendo
de NaClo é injetada nesse tanque. A solução é bem homogeneizada e é retirada do tanque a uma taxa de
. Determine a concentração no tanque após 12 minutos.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Inicialmente há
de água pura no tanque. - Taxa de entrada de solução:
. - Concentração da solução que entra:
de NaClO (massa por litro). - Taxa de saída do tanque:
. - A solução no tanque fica bem homogeneizada a qualquer instante.
- Pergunta: determinar a concentração no tanque após
.
Passo 2
Definições e quantidades imediatas:
- Seja
a massa de NaClO (em kg) no tanque no instante (minutos). - O volume no tanque
(em L) varia porque a taxa de entrada é diferente da saída. A taxa líquida de variação do volume é . Portanto
- A concentração dentro do tanque é
(em ). - Condição inicial: o tanque começa com água pura, logo
Passo 3
Montando a equação de balanço (razão de variação da massa de soluto):
- Regra:
taxa de entrada de massa taxa de saída de massa. - Taxa de entrada de massa = (vazão de entrada)
(concentração da entrada) - Taxa de saída de massa = (vazão de saída)
(concentração no tanque) - Logo a equação diferencial é
com
.
Passo 4
Identificando o tipo de equação e escrevendo na forma padrão:
- A equação é linear de primeira ordem. Colocando na forma
obtemos
- Aqui
e .
Passo 5
Método do fator integrante (explicando a ideia):
- Para resolver
multiplicamos por um fator integrante de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de . - Calculamos
- Fazer a integral: com
, , então . - Portanto
Passo 6
Multiplicando a EDO pelo fator integrante e integrando:
- Multiplicando a equação por
obtemos
- O lado esquerdo é a derivada do produto:
- Integramos em
:
- Para calcular a integral, use
, . Então
- Simplificando
. Assim a integral vale .
Passo 7
Aplicando a condição inicial e isolando
:
- A expressão integrada é
- Em
, e , daí
- Substituindo de volta e dividindo por
obtemos
- A concentração
. Dividindo a expressão por resulta numa forma mais simples:
- Observação: essa forma mostra que quando
a segunda parcela tende a zero e , como era de esperar (concentração da entrada).
Passo 8
Avaliação no tempo
minutos (cálculo exato e numérico):
- Primeiro calcule
. - Usando a fórmula simplificada:
- Simplificando a fração
, obtemos a forma exata
- Avaliando numericamente
, então