Determine as derivadas de primeira ordem das seguintes funções vetoriais:
F(x, y, z)=y e^{z} i+x e^{z} j+x y e^{z} k.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
F(x,y,z)=y e^{z}\,\mathbf{i} + x e^{z}\,\mathbf{j} + x y e^{z}\,\mathbf{k}
e pede “as derivadas de primeira ordem” desta função. Vou interpretar isso como calcular as derivadas parciais primeiras em relação a x, y e z, ou seja,
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}, \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}.
As informações relevantes fornecidas são:
F_1(x,y,z)=y e^{z},\qquad F_2(x,y,z)=x e^{z},\qquad F_3(x,y,z)=x y e^{z},
onde F=(F_1,F_2,F_3) nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial de uma função vetorial?
Se F=(F_1,F_2,F_3), então a derivada parcial de F em relação a uma variável (por exemplo x) é o vetor formado pelas derivadas parciais de cada componente:
\frac{\partial F}{\partial x}=\left(\frac{\partial F_1}{\partial x},\frac{\partial F_2}{\partial x},\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)
cada derivada parcial \partial F_i/\partial x é calculada tratando as outras variáveis ( y,z) como constantes. O mesmo vale para \partial/\partial y e \partial/\partial z.
Regras úteis para calcular:
  • A derivada de e^{z} em relação a z é e^{z}.
  • Quando derivamos em relação a x uma expressão como x\cdot g(y,z), tratamos g(y,z) como constante, então a derivada é g(y,z).
  • Produto com constantes: se uma componente é produto de fatores, derivamos usando que fatores que não dependem da variável são constantes.
Vou aplicar isso componente a componente.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}.
Componentes originais:
F_1(x,y,z)=y e^{z},\quad F_2(x,y,z)=x e^{z},\quad F_3(x,y,z)=x y e^{z}.
Derivando em relação a x, tratando y e z como constantes:
  • \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(y e^{z}\big)=0, porque y e^{z} não depende de x.
  • \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{z}\big)=e^{z}, pois é x vezes a constante e^{z}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x y e^{z}\big)=y e^{z}, pois x vezes a constante y e^{z} tem derivada y e^{z}.
Portanto,
\frac{\partial F}{\partial x}=0\,\mathbf{i} + e^{z}\,\mathbf{j} + y e^{z}\,\mathbf{k}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}.
Usamos as mesmas componentes e derivamos em relação a y, tratando x e z como constantes:
  • \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y e^{z}\big)=e^{z}, porque é y vezes a constante e^{z}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x e^{z}\big)=0, pois x e^{z} não depende de y.
  • \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x y e^{z}\big)=x e^{z}, pois é y vezes a constante x e^{z}.
Assim,
\frac{\partial F}{\partial y}=e^{z}\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} + x e^{z}\,\mathbf{k}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}.
Agora derivamos em relação a z; aqui x e y são constantes e devemos usar que \displaystyle \frac{d}{dz}e^{z}=e^{z}:
  • \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(y e^{z}\big)=y e^{z}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x e^{z}\big)=x e^{z}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x y e^{z}\big)=x y e^{z}.
Observe que cada componente simplesmente multiplica pela derivada de e^{z}, então o vetor resultante é igual ao F original:
\frac{\partial F}{\partial z}=y e^{z}\,\mathbf{i} + x e^{z}\,\mathbf{j} + x y e^{z}\,\mathbf{k}=F(x,y,z).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=0\,\mathbf{i} + e^{z}\,\mathbf{j} + y e^{z}\,\mathbf{k}\n
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}=e^{z}\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} + x e^{z}\,\mathbf{k}\n
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}=y e^{z}\,\mathbf{i} + x e^{z}\,\mathbf{j} + x y e^{z}\,\mathbf{k}

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