Determine as derivadas de primeira ordem das seguintes funções vetoriais:
.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede “as derivadas de primeira ordem” desta função. Vou interpretar isso como calcular as derivadas parciais primeiras em relação a
,
e
, ou seja,
,
e
.
As informações relevantes fornecidas são:
onde
nas direções
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial de uma função vetorial?
Se , então a derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo
) é o vetor formado pelas derivadas parciais de cada componente:
Se
cada derivada parcial
é calculada tratando as outras variáveis (
) como constantes. O mesmo vale para
e
.
Regras úteis para calcular:
- A derivada de
em relação a é . - Quando derivamos em relação a
uma expressão como , tratamos como constante, então a derivada é . - Produto com constantes: se uma componente é produto de fatores, derivamos usando que fatores que não dependem da variável são constantes.
Vou aplicar isso componente a componente.
Passo 3
Calcular
.
Componentes originais:
Derivando em relação a
, tratando
e
como constantes:
-
, porque não depende de . -
, pois é vezes a constante . -
, pois vezes a constante tem derivada .
Portanto,
Passo 4
Calcular
.
Usamos as mesmas componentes e derivamos em relação a
, tratando
e
como constantes:
-
, porque é vezes a constante . -
, pois não depende de . -
, pois é vezes a constante .
Assim,
Passo 5
Calcular
.
Agora derivamos em relação a
; aqui
e
são constantes e devemos usar que
:
-
. -
. -
.
Observe que cada componente simplesmente multiplica pela derivada de
, então o vetor resultante é igual ao
original: