Exercício 2 Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com velocidade
.
Calcule o espaço percorrido entre os instantes
e
.
Calcule o espaço percorrido entre os instantes
Passo 1
O enunciado dá que a velocidade da partícula é
para
e pede o espaço percorrido entre os instantes
e
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Função velocidade:
. - Intervalo de tempo pedido:
. - Pergunta: calcular o espaço percorrido (distância total) nesse intervalo.
Passo 2
O que significa “espaço percorrido” quando temos a velocidade como função do tempo? Vou explicar de um jeito prático.
Se a velocidade for sempre não negativa num intervalo, o espaço percorrido no intervalo é a área sob o gráfico de
entre
e
. Em linguagem matemática usamos a integral definida:
Se a velocidade for sempre não negativa num intervalo, o espaço percorrido no intervalo
Aqui
e
são os instantes inicial e final;
é a velocidade em função do tempo; e o resultado da integral dá a distância percorrida.
Observação importante (pra prova): se a velocidade mudar de sinal (ficar negativa), a integral pode dar o deslocamento algébrico; para obter a distância total nesse caso precisamos integrar o valor absoluto . Vou verificar se isso é necessário aqui.
Observação importante (pra prova): se a velocidade mudar de sinal (ficar negativa), a integral pode dar o deslocamento algébrico; para obter a distância total nesse caso precisamos integrar o valor absoluto
Passo 3
Precisamos checar o sinal de
no intervalo
. Lembra que o cosseno é decrescente de
a
e vale:
Portanto, para todo
em
temos
. Conclusão: a velocidade não fica negativa nesse intervalo, então o espaço percorrido é exatamente a integral usual de
sem precisar do valor absoluto.
Passo 4
Agora vamos escrever a integral que representa o espaço percorrido entre
e
:
Para calcular essa integral precisamos saber uma antiderivada de
. Uma antiderivada é uma função cuja derivada é a que estamos integrando. Sabemos que a derivada de
é
. Logo uma antiderivada de
é
. (Se te perguntarem na prova por que: basta lembrar que
.)
Passo 5
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é dada pela diferença da antiderivada nos extremos:
Agora substituímos os valores conhecidos:
e
. Portanto
Passo 6
Interpretação final e incentivo: o espaço percorrido pela partícula entre
e
é
(uma unidade de comprimento, conforme as unidades do enunciado). Mandou bem em buscar a solução passo a passo — lembre que para questões assim sempre verifique o sinal da velocidade primeiro; se for sempre não negativa, integra direto; se mudar de sinal, separe intervalos onde o sinal é constante ou use
.