Exercício 2 Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0 x com velocidade v(t)=\cos t, t \geq 0.
Calcule o espaço percorrido entre os instantes t=0 e t=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado dá que a velocidade da partícula é v(t)=\cos t para t\ge 0 e pede o espaço percorrido entre os instantes t=0 e t=\pi/2.
Informações relevantes:
  • Função velocidade: v(t)=\cos t.
  • Intervalo de tempo pedido: [0,\pi/2].
  • Pergunta: calcular o espaço percorrido (distância total) nesse intervalo.

Passo 2

O que significa “espaço percorrido” quando temos a velocidade como função do tempo? Vou explicar de um jeito prático.
Se a velocidade for sempre não negativa num intervalo, o espaço percorrido no intervalo [a,b] é a área sob o gráfico de v(t) entre t=a e t=b. Em linguagem matemática usamos a integral definida:
\text{espaço}=\int_{a}^{b} v(t)\,dt.ç
Aqui a e b são os instantes inicial e final; v(t) é a velocidade em função do tempo; e o resultado da integral dá a distância percorrida.
Observação importante (pra prova): se a velocidade mudar de sinal (ficar negativa), a integral pode dar o deslocamento algébrico; para obter a distância total nesse caso precisamos integrar o valor absoluto |v(t)|. Vou verificar se isso é necessário aqui.

Passo 3

Precisamos checar o sinal de v(t)=\cos t no intervalo [0,\pi/2]. Lembra que o cosseno é decrescente de t=0 a t=\pi/2 e vale:
\cos 0 = 1,\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Portanto, para todo t em [0,\pi/2] temos \cos t\ge 0. Conclusão: a velocidade não fica negativa nesse intervalo, então o espaço percorrido é exatamente a integral usual de v(t) sem precisar do valor absoluto.

Passo 4

Agora vamos escrever a integral que representa o espaço percorrido entre t=0 e t=\pi/2:
\text{espaço}=\int_{0}^{\pi/2} \cos t\,dt.ç
Para calcular essa integral precisamos saber uma antiderivada de \cos t. Uma antiderivada é uma função cuja derivada é a que estamos integrando. Sabemos que a derivada de \sin t é \cos t. Logo uma antiderivada de \cos t é \sin t. (Se te perguntarem na prova por que: basta lembrar que \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.)

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é dada pela diferença da antiderivada nos extremos:
\int_{0}^{\pi/2} \cos t\,dt = \left.\sin t\right|_{0}^{\pi/2} = \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin 0.
Agora substituímos os valores conhecidos: \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 e \sin 0=0. Portanto
\int_{0}^{\pi/2} \cos t\,dt = 1-0 = 1.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: o espaço percorrido pela partícula entre t=0 e t=\pi/2 é 1 (uma unidade de comprimento, conforme as unidades do enunciado). Mandou bem em buscar a solução passo a passo — lembre que para questões assim sempre verifique o sinal da velocidade primeiro; se for sempre não negativa, integra direto; se mudar de sinal, separe intervalos onde o sinal é constante ou use \int |v(t)|\,dt.

Resposta

1

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