Determine o diâmetro de uma adutora, por gravidade, de 850 m de comprimento, ligando dois reservatórios mantidos em níveis constantes, com diferença de cotas de 17,5 \mathrm{~m}, para transportar uma vazão e água de 30 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Material da tubulação, aço galvanizado com costura novo, \varepsilon=0,15 \mathrm{~mm}. Utilize a ferramenta solver nesta resolução. [D =0,150 \mathrm{~m} ]

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro de uma adutora por gravidade, ligando dois reservatórios com L=850 m, diferença de cotas \Delta z=17,5 m, vazão Q=30 L/s ( 0{,}03 m^{3}/s), tubulação de aço galvanizado novo com rugosidade \varepsilon=0,15 mm. Vamos usar a equação de energia entre reservatórios e a perda de carga de Darcy–Weisbach, combinada com a equação de Colebrook para o fator de atrito.

Passo 2

A energia disponível \Delta z é gasta em perda de carga apenas por atrito, logo
\Delta z \;=\; h_f \;=\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}
onde v é a velocidade média, ligada à vazão por
v = \frac{Q}{A} = \frac{4\,Q}{\pi D^2}.

Passo 3

O fator de atrito f em escoamento turbulento é dado implicitamente por Colebrook–White:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -\,2\,\log_{10}\!\Bigl(\frac{\varepsilon}{3{,}7\,D} + \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\,\sqrt{f}}\Bigr)
com o número de Reynolds
\mathrm{Re} = \frac{v\,D}{\nu},
e \nu\approx1{,}0\times10^{-6} m^{2}/s.

Passo 4

Definimos a função residual em D:
F(D) \;=\; f(D)\,\frac{L}{D}\,\frac{\bigl(\tfrac{4Q}{\pi D^2}\bigr)^2}{2g} \;-\;\Delta z
em que f(D) é obtido resolvendo-se a equação de Colebrook para cada D. A solução de interesse é D>0 tal que F(D)=0.

Passo 5

Usando um solver numérico (por exemplo, o routine fsolve do Python/Scipy ou mpmath.findroot), implementamos F(D) e buscamos sua raiz. O procedimento converge para
D \approx 0{,}150\;\text{m}.

Resposta

D = 0{,}150\;\text{m}

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