Um tubo com diâmetro interno de 5 cm abastece um tanque cilindrico. A velocidade da água no tubo é constante e igual a
. O tanque tem 2 metros de diâmetro e está inicialmente vazio.
a) Calcule a vazão volumétrica (
) de água que entra no tanque (em
).
b) Determine quanto tempo, em minutos, levará para o nível de água no tanque atingir 1 metro de altura. (Considere
)
a) Calcule a vazão volumétrica (
b) Determine quanto tempo, em minutos, levará para o nível de água no tanque atingir 1 metro de altura. (Considere
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Calcular a vazão volumétrica
da água que entra no tanque, em . - (b) Determinar quanto tempo, em minutos, levará para o nível do tanque atingir
metro de altura.
Dados fornecidos:
- Diâmetro interno do tubo:
. - Velocidade da água no tubo:
. - Diâmetro do tanque cilíndrico:
. - Nível inicial do tanque: vazio (altura inicial
). - Altura alvo:
. - Foi pedido considerar
.
Passo 2
Fórmula básica para vazão volumétrica e significado das variáveis:
onde
-
é a vazão volumétrica ( ), -
é a área da seção transversal do tubo ( ), -
é a velocidade média do fluido no tubo ( ).
Calcular a área da seção do tubo:
o tubo é circular, logo
o tubo é circular, logo
onde
é o raio interno do tubo. Primeiro converto o diâmetro para metros e obtenho o raio:
Agora calculo
:
Portanto a área é
Passo 3
Calcular a vazão
usando
. Substituindo:
Agora substituo
(conforme pedido):
Interpretação rápida: isso significa que, a cada segundo, entram cerca de
metros cúbicos de água no tanque.
Passo 4
Volume de água necessário para elevar o nível do tanque até
:
o tanque é cilíndrico com raio
o tanque é cilíndrico com raio
Área da base do tanque:
Volume até
:
Usando
dá
.
Passo 5
Calcular o tempo necessário a partir de
. Substituindo as expressões obtidas:
Observação importante e útil para prova: o
cancela, então o tempo NÃO depende do valor numérico de
— isso simplifica muito a conta:
Calculo
como fração:
, portanto
Converter para minutos (dividir por
):
Arredondando para duas casas decimais:
.
Se for conveniente em minutos e segundos: (porque
).
Se for conveniente em minutos e segundos: