Um tubo com diâmetro interno de 5 cm abastece um tanque cilindrico. A velocidade da água no tubo é constante e igual a 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O tanque tem 2 metros de diâmetro e está inicialmente vazio.
a) Calcule a vazão volumétrica ( \boldsymbol{Q} ) de água que entra no tanque (em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ).
b) Determine quanto tempo, em minutos, levará para o nível de água no tanque atingir 1 metro de altura. (Considere \pi=3,14 )

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Calcular a vazão volumétrica Q da água que entra no tanque, em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • (b) Determinar quanto tempo, em minutos, levará para o nível do tanque atingir 1 metro de altura.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro interno do tubo: d_{\text{tubo}}=5\\ \text{cm}.
  • Velocidade da água no tubo: v=3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Diâmetro do tanque cilíndrico: d_{\text{tanque}}=2\\ \mathrm{m}.
  • Nível inicial do tanque: vazio (altura inicial =0).
  • Altura alvo: h=1\\ \mathrm{m}.
  • Foi pedido considerar \pi=3{,}14.

Passo 2

Fórmula básica para vazão volumétrica e significado das variáveis:
Q = A \cdot v,
onde
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}),
  • A é a área da seção transversal do tubo ( \mathrm{m}^2),
  • v é a velocidade média do fluido no tubo ( \mathrm{m}/\mathrm{s}).
Calcular a área da seção do tubo:
o tubo é circular, logo
A=\pi r^2,
onde r é o raio interno do tubo. Primeiro converto o diâmetro para metros e obtenho o raio:
d_{\text{tubo}}=5\\ \text{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m},\qquad r=\frac{d_{\text{tubo}}}{2}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
Agora calculo r^2:
r^2=(0{,}025)^2=0{,}000625\\ \mathrm{m}^2.
Portanto a área é
A=\pi\cdot 0{,}000625.

Passo 3

Calcular a vazão Q usando Q=A\cdot v. Substituindo:
Q = \pi\cdot 0{,}000625 \cdot 3 = 0{,}001875\pi\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Agora substituo \pi=3{,}14 (conforme pedido):
Q = 0{,}001875\times 3{,}14 = 0{,}0058875\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Interpretação rápida: isso significa que, a cada segundo, entram cerca de 0{,}0058875 metros cúbicos de água no tanque.

Passo 4

Volume de água necessário para elevar o nível do tanque até h=1\\ \mathrm{m}:
o tanque é cilíndrico com raio
R=\frac{d_{\text{tanque}}}{2}=\frac{2}{2}=1\\ \mathrm{m}.
Área da base do tanque:
A_{\text{tanque}}=\pi R^2=\pi\cdot 1^2=\pi\\ \mathrm{m}^2.
Volume até h=1\\ \mathrm{m}:
V = A_{\text{tanque}}\cdot h = \pi\cdot 1 = \pi\\ \mathrm{m}^3.
Usando \pi=3{,}14 V=3{,}14\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Calcular o tempo necessário a partir de t = \dfrac{V}{Q}. Substituindo as expressões obtidas:
t=\frac{\pi}{0{,}001875\pi}.
Observação importante e útil para prova: o \pi cancela, então o tempo NÃO depende do valor numérico de \pi — isso simplifica muito a conta:
t=\frac{1}{0{,}001875}.
Calculo 0{,}001875 como fração: 0{,}001875=\dfrac{3}{1600}, portanto
t=\frac{1}{0{,}001875}=\frac{1600}{3}\\ \mathrm{s}\approx 533{,}333\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos (dividir por 60):
t=\frac{1600}{3}\cdot\frac{1}{60}=\frac{1600}{180}=\frac{80}{9}\\ \text{min}\approx 8{,}888\ldots\\ \text{min}.
Arredondando para duas casas decimais: t\approx 8{,}89\\ \text{min}.
Se for conveniente em minutos e segundos: 8\\ \text{min}\\\ 53{,}33\\ \text{s} (porque 0{,}888\ldots\times 60=53{,}333\ldots).

Resposta

Q=0{,}0058875\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
t=8{,}888\ldots\\ \text{min}\approx 8{,}89\\ \text{min}

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