• 2- Um tanque de 3 m de diâmetro é abastecido com água ( \rho= 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) com uma vazão de entrada que varia com a altura de água no tanque de acordo com a expressão:
\dot{m}_{e}=1,5 e^{-0,5 z}
onde a vazão é dada em kg/s c a altura (z) em metros. Se a altura inicial de água no tanque for 1 m , determinar o tempo necessário para que a altura final seja 2 m .

Passo 1

O enunciado pede para determinar o tempo necessário para que a altura da água em um tanque aumente de \,1\\ \text{m}\, para \,2\\ \text{m}\,, dado que a vazão mássica de entrada depende da altura pela expressão
\dot{m}_{e}=1,5\,e^{-0,5 z},
onde a vazão está em \,\text{kg/s}\, e a altura z em \,\text{m}. Dados e informações relevantes fornecidos:
\begin{aligned} &\text{diâmetro do tanque: }D=3\\ \text{m},\\\ &\text{densidade da água: }\rho=1000\\ \text{kg/m}^{3},\\\ &\dot{m}_{e}=1,5\,e^{-0,5 z}\\ (\text{kg/s}),\\\ &z(0)=1\\ \text{m},\quad z(T)=2\\ \text{m}.
A tarefa é encontrar o tempo T necessário para que z vá de 1 para 2 metros.

Passo 2

Relacionar massa no tanque com a altura: a massa de água no tanque é a densidade vezes o volume. Como o tanque tem seção transversal circular constante, o volume é \,V=A\,z\,, onde A é a área da seção. Portanto
m=\rho A z.
Calculemos a área da seção A. A área de um círculo é \,A=\pi\left(\dfrac{D}{2}\right)^{2}\,, logo
A=\pi\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\pi\cdot 2,25=2,25\pi\\ \text{m}^{2}.

Passo 3

Escrever o balanço de massa (acúmulo = entrada - saída). Como o enunciado só fornece vazão de entrada e não menciona saída, assumimos ausência de saída. Assim
\frac{dm}{dt}=\dot{m}_{e}.
Substituindo m=\rho A z e derivando em relação ao tempo:
\frac{dm}{dt}=\rho A\frac{dz}{dt}.
Igualando à vazão de entrada:
\rho A\frac{dz}{dt}=1,5\,e^{-0,5 z}.
Esta é uma equação diferencial ordinária separável para z(t).

Passo 4

Resolver a ODE por separação de variáveis. Reescrevendo:
\frac{dz}{dt}=\frac{1,5}{\rho A}\,e^{-0,5 z}.
Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por e^{0,5 z} e por dt:
e^{0,5 z}\,dz=\frac{1,5}{\rho A}\,dt.
Agora integramos ambos os lados com os limites apropriados: z varia de 1 a 2 enquanto t varia de 0 a T. Assim
\int_{1}^{2} e^{0,5 z}\,dz=\frac{1,5}{\rho A}\int_{0}^{T} dt.
Calcule a integral à esquerda. Usamos a primitiva de e^{0,5 z}, que é \dfrac{1}{0,5}e^{0,5 z}=2e^{0,5 z}. Portanto
\int_{1}^{2} e^{0,5 z}\,dz=2\bigl(e^{1}-e^{0,5}\bigr).
A integral à direita é simplesmente \dfrac{1,5}{\rho A}\,T. Igualando os dois lados e isolando T:
2\bigl(e^{1}-e^{0,5}\bigr)=\frac{1,5}{\rho A}\,T \quad\Longrightarrow\quad T=\rho A\cdot\frac{2\bigl(e^{1}-e^{0,5}\bigr)}{1,5}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos. Primeiro o valor de A já obtido:
A=2,25\pi\\ \text{m}^{2}\approx 7,0685834706\\ \text{m}^{2}.
Calcule \rho A:
\rho A=1000\cdot 2,25\pi\approx 7068,5834706\\ \text{kg/m}.
Calcule 2\bigl(e^{1}-e^{0,5}\bigr). Usando e^{1}\approx 2,7182818285 e e^{0,5}\approx 1,6487212707,
2\bigl(e^{1}-e^{0,5}\bigr)\approx 2\cdot 1,0695605578\approx 2,1391211156.
Agora calcule T:
T=\frac{7068,5834706\cdot 2,1391211156}{1,5}\approx \frac{15124,000000}{1,5}\approx 10082,666667\\ \text{s}.
Converter para horas e minutos para interpretar melhor:
10082,666667\\ \text{s}\approx 2{,}80074074\\ \text{h}=2\\ \text{h}\\\ 48\\ \text{min}\\\ 2{,}7\\ \text{s}\\ (\text{aprox.}).

Resposta

T\approx 10082{,}7\\ \text{s}\approx 2\\ \text{h}\\\ 48\\ \text{min}\\\ 2{,}7\\ \text{s}

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