- 2- Um tanque de 3 m de diâmetro é abastecido com água (
) com uma vazão de entrada que varia com a altura de água no tanque de acordo com a expressão:
onde a vazão é dada em kg/s c a altura (z) em metros. Se a altura inicial de água no tanque for 1 m , determinar o tempo necessário para que a altura final seja 2 m .
Passo 1
O enunciado pede para determinar o tempo necessário para que a altura da água em um tanque aumente de
para
, dado que a vazão mássica de entrada depende da altura pela expressão
onde a vazão está em
e a altura
em
. Dados e informações relevantes fornecidos:
A tarefa é encontrar o tempo
necessário para que
vá de
para
metros.
Passo 2
Relacionar massa no tanque com a altura: a massa de água no tanque é a densidade vezes o volume. Como o tanque tem seção transversal circular constante, o volume é
, onde
é a área da seção. Portanto
Calculemos a área da seção
. A área de um círculo é
, logo
Passo 3
Escrever o balanço de massa (acúmulo = entrada - saída). Como o enunciado só fornece vazão de entrada e não menciona saída, assumimos ausência de saída. Assim
Substituindo
e derivando em relação ao tempo:
Igualando à vazão de entrada:
Esta é uma equação diferencial ordinária separável para
.
Passo 4
Resolver a ODE por separação de variáveis. Reescrevendo:
Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
:
Agora integramos ambos os lados com os limites apropriados:
varia de
a
enquanto
varia de
a
. Assim
Calcule a integral à esquerda. Usamos a primitiva de
, que é
. Portanto
A integral à direita é simplesmente
. Igualando os dois lados e isolando
:
Passo 5
Substituir os valores numéricos. Primeiro o valor de
já obtido:
Calcule
:
Calcule
. Usando
e
,
Agora calcule
:
Converter para horas e minutos para interpretar melhor: