• 1- Um foguete tem massa 500 kg e será lançado pela queima de um dos tubos? combustivel, sabendo-se que a massa de combustível já está computada dentro da massa do foguete. A saída dos gases de combustão se dá pela base do foguete por uma tubulação de seção circular a uma velocidade de 450 \mathrm{km} / \mathrm{h}. Determinar o diâmetro da tubulação de saída dos gases, cuja densidade é igual a 0,45 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Suponha que os cálculos correspondem ao exato momento em que os gases começam a ser lançados na atmosfera, ou seja, o foguete está prestes a se mover.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o diâmetro da tubulação de saída dos gases do foguete. Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
  • massa do foguete: \,m=500\\ \mathrm{kg}.
  • velocidade dos gases na saída: \,v=450\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • densidade dos gases: \,\rho=0,45\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • condição indicada: “momento em que os gases começam a ser lançados na atmosfera, ou seja, o foguete está prestes a se mover” — usaremos isto para relacionar o empuxo (força de reação dos gases) com o peso do foguete.
    A tarefa: encontrar o diâmetro \,d da tubulação circular de saída dos gases.

Passo 2

Converter a velocidade dos gases para unidades SI ( \mathrm{m}/\mathrm{s}), porque as fórmulas de dinâmica exigem coerência de unidades. Conversão:
450\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} = 450\cdot\frac{1000\\ \mathrm{m}}{3600\\ \mathrm{s}} = 125\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Logo usaremos \,v=125\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 3

Apresentar a fórmula que liga fluxo de massa dos gases à força (empuxo) produzida.
  • A taxa de massa que sai pela tubulação (fluxo de massa) é
\dot{m}=\rho A v,
onde \dot{m} é em \mathrm{kg}/\mathrm{s}, \rho é a densidade ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}), A é a área da seção transversal da tubulação ( \mathrm{m}^{2}) e v é a velocidade dos gases relativa ao foguete ( \mathrm{m}/\mathrm{s}).
  • A força de reação (empuxo) gerada pela ejeção dos gases, desprezando efeitos de pressão externos e assumindo ejeção axial, é dada por
T=\dot{m}\,v.
Substituindo \dot{m} obtém-se
T=\rho A v^{2}.
Aqui T tem unidades de newtons ( \mathrm{N}).

Passo 4

Relacionar o empuxo com o peso do foguete no instante em que ele “está prestes a se mover”.
  • O peso do foguete é \,P=mg, com g a aceleração da gravidade. Vou usar g=9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • No limite mínimo para começar a vencer a gravidade, tomamos a condição de equilíbrio vertical aproximado (empuxo igual ao peso): T=mg. Isto nos dá a menor área que permite o foguete “começar a se mover” (na prática precisaria ser ligeiramente maior, mas essa é a condição de cálculo pedido).
  • Igualando:
\rho A v^{2} = m g.
Despejando A,
A=\frac{m g}{\rho v^{2}}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular a área A.
  • Primeiro calcular o peso:
m g = 500\cdot 9,8 = 4900\\ \mathrm{N}.
  • Calcular v^{2}:
v^{2} = 125^{2} = 15625\\ \mathrm{(m/s)}^{2}.
  • Calcular \rho v^{2}:
\rho v^{2} = 0,45\cdot 15625 = 7031{,}25\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{2})\quad(\text{ou N/m}^{2}).
  • Então a área é
A=\frac{4900}{7031{,}25}\approx 0{,}696889\\ \mathrm{m}^{2}.
Arredondando razoavelmente, \,A\approx 0{,}697\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Converter a área em diâmetro da seção circular.
  • Área de um círculo em função do diâmetro é
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
  • Despejando d,
d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
  • Substituindo A\approx 0{,}696889\\ \mathrm{m}^{2}:
d=\sqrt{\frac{4\cdot 0{,}696889}{\pi}} =\sqrt{\frac{2{,}787556}{\pi}} \approx \sqrt{0{,}8874}\approx 0{,}942\\ \mathrm{m}.
Arredondando a duas casas significativas, \,d\approx 0{,}94\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Resumo das aproximações feitas (importante para prova):
  • Assumi g=9{,}8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • Usei a fórmula de empuxo T=\dot{m}v e \dot{m}=\rho A v, obtendo T=\rho A v^{2}.
  • Adotei a condição de início de movimento como T=mg (empuxo igual ao peso). Na realidade, pressões externas e pequenas diferenças fariam o valor necessário ser ligeiramente diferente, mas sem dados de pressão essa é a aproximação padrão e a mais direta em prova.
  • Unidades foram convertidas corretamente: \,450\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}=125\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Resposta

\displaystyle d\approx 0,94\\ \mathrm{m}

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