- 1- Um foguete tem massa 500 kg e será lançado pela queima de um dos tubos? combustivel, sabendo-se que a massa de combustível já está computada dentro da massa do foguete. A saída dos gases de combustão se dá pela base do foguete por uma tubulação de seção circular a uma velocidade de 450
. Determinar o diâmetro da tubulação de saída dos gases, cuja densidade é igual a
. Suponha que os cálculos correspondem ao exato momento em que os gases começam a ser lançados na atmosfera, ou seja, o foguete está prestes a se mover.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o diâmetro da tubulação de saída dos gases do foguete. Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
- massa do foguete:
. - velocidade dos gases na saída:
. - densidade dos gases:
. - condição indicada: “momento em que os gases começam a ser lançados na atmosfera, ou seja, o foguete está prestes a se mover” — usaremos isto para relacionar o empuxo (força de reação dos gases) com o peso do foguete.
A tarefa: encontrar o diâmetroda tubulação circular de saída dos gases.
Passo 2
Converter a velocidade dos gases para unidades SI (
), porque as fórmulas de dinâmica exigem coerência de unidades. Conversão:
Logo usaremos
.
Passo 3
Apresentar a fórmula que liga fluxo de massa dos gases à força (empuxo) produzida.
- A taxa de massa que sai pela tubulação (fluxo de massa) é
onde
é em
,
é a densidade (
),
é a área da seção transversal da tubulação (
) e
é a velocidade dos gases relativa ao foguete (
).
- A força de reação (empuxo) gerada pela ejeção dos gases, desprezando efeitos de pressão externos e assumindo ejeção axial, é dada por
Substituindo
obtém-se
Aqui
tem unidades de newtons (
).
Passo 4
Relacionar o empuxo com o peso do foguete no instante em que ele “está prestes a se mover”.
- O peso do foguete é
, com a aceleração da gravidade. Vou usar . - No limite mínimo para começar a vencer a gravidade, tomamos a condição de equilíbrio vertical aproximado (empuxo igual ao peso):
. Isto nos dá a menor área que permite o foguete “começar a se mover” (na prática precisaria ser ligeiramente maior, mas essa é a condição de cálculo pedido). - Igualando:
Despejando
,
Passo 5
Substituir os valores numéricos e calcular a área
.
- Primeiro calcular o peso:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Então a área é
Arredondando razoavelmente,
.
Passo 6
Converter a área em diâmetro da seção circular.
- Área de um círculo em função do diâmetro é
- Despejando
,
- Substituindo
:
Arredondando a duas casas significativas,
.
Passo 7
Resumo das aproximações feitas (importante para prova):
- Assumi
. - Usei a fórmula de empuxo
e , obtendo . - Adotei a condição de início de movimento como
(empuxo igual ao peso). Na realidade, pressões externas e pequenas diferenças fariam o valor necessário ser ligeiramente diferente, mas sem dados de pressão essa é a aproximação padrão e a mais direta em prova. - Unidades foram convertidas corretamente:
.