Um tanque com 1 m de diâmetro é alimentado a uma vazão \dot{V} e descarregado através de uma tubulação com 0,1 \mathrm{~m} de diâmetro. Determine a vazão volumétrica \dot{V} necessária para que o nível de água no tanque permaneça constante e igual a 2 m , nos seguintes casos:
a) assumindo que a energia cinética no tanque é desprezível (considerar a velocidade na superfície no tanque próxima de zero).
b) assumindo que a energia cinética no tanque NÃO é desprezível (considerar a velocidade na superfície no tanque diferente de zero)
c) qual o erro associado à hipótese adotada na letra a)?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de diâmetro 1\\ \mathrm m mantido a nível constante h=2\\ \mathrm m. A descarga ocorre por uma tubulação de diâmetro 0,1\\ \mathrm m. Precisamos aplicar o teorema de Bernoulli entre a superfície livre do tanque e a seção de saída, nos dois casos:
– a) desprezando a energia cinética na superfície (velocidade lá praticamente zero)
– b) incluindo a energia cinética na superfície (velocidade lá igual a Q/A_t)
Depois, em c) calculamos o erro relativo ao desprezar essa energia cinética.

Passo 2

Primeiro, calculamos as áreas das seções:
A_t = \pi\,(0,5)^2 = 0{,}7854\\ \mathrm{m}^2, \quad A_p = \pi\,(0,05)^2 = 0{,}007854\\ \mathrm{m}^2.
a) Com velocidade na superfície desprezível v_1\approx0, Bernoulli dá
g\,h = \tfrac12\,v_2^2 \quad\Longrightarrow\quad v_2 = \sqrt{2\,g\,h}.
Tomando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e h=2\\ \mathrm m,
v_2 = \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot2} = 6{,}264\\ \mathrm{m/s}.
Logo a vazão é
\dot V_a = A_p\,v_2 =0{,}007854\cdot6{,}264 =0{,}04924\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

b) Incluindo a energia cinética na superfície v_1=Q/A_t, Bernoulli dá
\tfrac12\Bigl(\tfrac{Q}{A_t}\Bigr)^2 + g\,h =\tfrac12\Bigl(\tfrac{Q}{A_p}\Bigr)^2.
Reorganizando:
Q^2\Bigl(\tfrac1{A_p^2}-\tfrac1{A_t^2}\Bigr)=2\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad Q =\sqrt{\frac{2\,g\,h}{\tfrac1{A_p^2}-\tfrac1{A_t^2}}}.
Substituindo valores:
\tfrac1{A_p^2}-\tfrac1{A_t^2} =\tfrac1{(0{,}007854)^2}-\tfrac1{(0{,}7854)^2} \approx16000-1{,}63 \approx15998{,}4,
Q_b =\sqrt{\frac{2\cdot9{,}81\cdot2}{15998{,}4}} \approx0{,}04922\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

c) O erro relativo ao desprezar v_1 é
\frac{\dot V_a-\dot V_b}{\dot V_b}\times100\% =\frac{0{,}04924-0{,}04922}{0{,}04922}\times100\% \approx0{,}04\%.

Resposta

a) \dot V\approx0{,}04924\\ \mathrm{m^3/s}
b) \dot V\approx0{,}04922\\ \mathrm{m^3/s}
c) Erro de cerca de 0{,}04\% ao desprezar a energia cinética na superfície.

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