Uma Estação de Tratamento de Efluentes (ETE) de uma indústria química opera com uma vazão contínua de 36 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. O efluente, após passar pelo tanque equalizador, é enviado ao reator biológico por meio de uma tubulação de 15 metros de comprimento e diâmetro interno de 100 mm , utilizando uma bomba centrífuga.
O sistema possui: Uma diferença de altura de 4,2 metros entre os tanques (nível de sucção e recalque). Perdas de carga estimadas em 2,0 metros, causadas por conexões e atrito na tubulação. A temperatura média do efluente é de 30^{\circ} \mathrm{C}.
a) A área da seção transversal da tubulação.
b) A velocidade média do escoamento.
c) O número de Reynolds para determinar o regime de escoamento, considerando viscosidade cinemática da água a 30^{\circ} \mathrm{C} : v=8,0 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}
d) A perda de carga por atrito. Usando a fórmula de Darcy-Weisbach, considerando fator de atrito \mathrm{f} \approx 0,03 aproximadamente para escoamento turbulento e gravidade =9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2.
e) Calcular a força de arrasto
a) A altura manométrica total que a bomba precisa vencer, considerando a diferença de nível e as perdas de carga.
b) A potência hidráulica necessária para transportar o fluido (em Watts).
c) A potência real da bomba, considerando 70 \% de eficiência.
d) Verifique a possibilidade de cavitação no sistema.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento de água (efluente a 30^\circ\mathrm{C}) em tubulação de diâmetro interno 100\rm\,mm, com vazão contínua de 36\rm\,m^3/h. Precisamos aplicar:
  • Continuidade para achar a velocidade média.
  • Definição de número de Reynolds para regime de escoamento.
  • Fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito.
  • Relação entre perda de carga e força de arrasto.
  • Balanço de altura manométrica e cálculo de potências hidráulica e de eixo da bomba.
  • Verificação de cavitação pelo NPSH disponível vs. vapor de água.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal da tubulação.
Diâmetro D=100\rm\,mm=0,10\rm\,m, logo
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0,10)^2}{4} \approx 7,85\times10^{-3}\rm\,m^2.

Passo 3

Encontrar a velocidade média do escoamento.
Vazão Q=36\rm\,m^3/h=36/3600=0,01\rm\,m^3/s.
V = \frac{Q}{A} = \frac{0,01}{7,85\times10^{-3}} \approx 1,27\rm\,m/s.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds para o regime de escoamento.
Viscosidade cinemática \nu=8{,}0\times10^{-7}\rm\,m^2/s.
\mathrm{Re} = \frac{V\,D}{\nu} = \frac{1,27\times0,10}{8{,}0\times10^{-7}} \approx 1,6\times10^{5},
ou seja, escoamento turbulento.

Passo 5

Determinar a perda de carga por atrito usando Darcy–Weisbach com f\approx0{,}03 e g=9,81\rm\,m/s^2.
Comprimento L=15\rm\,m.
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2\,g} =0{,}03\cdot\frac{15}{0,10}\cdot\frac{1,27^2}{2\cdot9,81} \approx 0,19\rm\,m.

Passo 6

Calcular a força de arrasto que a tubulação exerce no fluido.
A perda de pressão é \Delta p = \rho\,g\,h_f com \rho\approx1000\rm\,kg/m^3, e a força é \Delta p vezes a área A:
\Delta p =1000\cdot9,81\cdot0,186\approx1{,}83\times10^{3}\rm\,Pa, \quad F = \Delta p\,A \approx1{,}83\times10^{3}\cdot7,85\times10^{-3}\approx14{,}3\rm\,N.

Passo 7

Altura manométrica total que a bomba deve vencer: soma da diferença de nível \Delta z=4,2\rm\,m e das perdas de carga (conexõe s+atrito) estimadas em 2,0\rm\,m:
H_{\rm tot} =4,2 + 2,0 =6,2\rm\,m.

Passo 8

Potência hidráulica necessária:
P_h = \rho\,g\,Q\,H_{\rm tot} =1000\cdot9,81\cdot0,01\cdot6,2 \approx608\rm\,W.

Passo 9

Potência real da bomba considerando eficiência \eta=70\%:
P_{\rm real} = \frac{P_h}{\eta} = \frac{608}{0,70} \approx869\rm\,W.

Passo 10

Verificação de cavitação.
Pressão de vapor da água a 30^\circ\mathrm{C} é cerca de p_{\rm vap}\approx4{,}24\rm\,kPa, ou h_{\rm vap}=p_{\rm vap}/(\rho g)\approx0,43\rm\,m.
Pressão atmosférica equivale a h_{\rm atm}\approx10,33\rm\,m. Logo o NPSH disponível é da ordem de
\mathrm{NPSH}_{\rm disp}\approx h_{\rm atm} - h_{\rm vap}\approx10,33 - 0,43 \approx9,9\rm\,m,
muito maior que qualquer NPSH requerido (~ 0,5 m), portanto não há risco de cavitação.

Resposta

(a) A\approx7,85\times10^{-3}\rm\,m^2
(b) V\approx1,27\rm\,m/s
(c) \mathrm{Re}\approx1,6\times10^{5} (turbulento)
(d) h_f\approx0,19\rm\,m
(e) F\approx14,3\rm\,N (a) H_{\rm tot}=6,2\rm\,m
(b) P_h\approx608\rm\,W
(c) P_{\rm real}\approx869\rm\,W
(d) Não há risco de cavitação \mathrm{NPSH}_{\rm disp}\approx9,9\rm\,m.

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