Um tanque de oxigênio comprimido para corte à chama deve conter 10 kg de oxigênio à pressão de 14 MPa (a temperatura é de 35^{\circ} \mathrm{C} ). Qual deve ser o volume do tanque? Qual o diâmetro de uma esfera com esse volume?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já nos dá:
  • Pedido 1: qual deve ser o volume do tanque que contém 10\\ \mathrm{kg} de oxigênio à pressão de 14\\ \mathrm{MPa} e temperatura de 35^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pedido 2: qual o diâmetro de uma esfera que tenha esse volume.
Informações dadas:
  • Massa do oxigênio: m = 10\\ \mathrm{kg}.
  • Pressão: P = 14\\ \mathrm{MPa} = 14\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura: T = 35^{\circ}\mathrm{C} = 35 + 273{,}15 = 308{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Usarei a massa molar do oxigênio molecular: M = 32{,}00\\ \mathrm{g·mol^{-1}} = 0{,}03200\\ \mathrm{kg·mol^{-1}}.
  • Constante universal dos gases: R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J·mol^{-1}·K^{-1}}.

Passo 2

Escolha do método e fórmula principal (aulas rápidas):
  • Método escolhido: usar a lei dos gases ideais, que é simples e normalmente pedida em provas para esse tipo de exercício. A lei dos gases ideais diz que, para n mols de um gás a temperatura T e pressão P,
PV = nRT,
onde:
  • P é a pressão absoluta (em \mathrm{Pa}),
  • V é o volume (em \mathrm{m^3}),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
  • Relação entre massa e mols: o número de mols n de uma amostra é dado por
n = \frac{m}{M},
onde m é a massa (em \mathrm{kg}) e M é a massa molar (em \mathrm{kg·mol^{-1}}).
Observação didática curto e honesto: a pressão 14\\ \mathrm{MPa} é bem alta; para pressões tão altas o comportamento real pode desviar do ideal (fator de compressibilidade Z\neq1). Em muitos exercícios de prova usa-se o gás ideal como aproximação — é o que vamos fazer aqui. Se a prova pedisse correção real, seria preciso a tabela de Z ou uma equação de estado (van der Waals, etc.), o que complica bastante.

Passo 3

Calcular o número de mols n:
  • Converter massa molar: já colocado M = 0{,}03200\\ \mathrm{kg·mol^{-1}}.
  • Usar n = \dfrac{m}{M}:
n = \frac{10\\ \mathrm{kg}}{0{,}03200\\ \mathrm{kg·mol^{-1}}} = 312{,}5\\ \mathrm{mol}.
Explicação prática: dividir a massa total pela massa de uma mole diz quantas “moles” de moléculas existem. Aqui são 312{,}5 mols de \mathrm{O_2}.

Passo 4

Usar a lei dos gases ideais para encontrar o volume V:
  • Reescrevendo a lei dos gases:
V = \frac{nRT}{P}.
  • Substituindo os valores (vou organizar os cálculos em passos pequenos):
    • Primeiro calcule nR:
    nR = 312{,}5 \times 8{,}314462618 = 2597{,}0\\ \text{(aprox.)}\\ \mathrm{J·K^{-1}}.
    (faça a conta: 8{,}314462618\times312{,}5.)
    • Em seguida calcule nRT:
    nRT = 2597{,}0 \times 308{,}15 \approx 800\,660{,}9\\ \mathrm{J}.
    • Finalmente divida por P:
    V = \frac{800\,660{,}9}{14\times10^{6}} \approx 0{,}057190\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Converter para litros (útil para intuir tamanho): 1\\ \mathrm{m^{3}} = 1000\\ \mathrm{L}, então
V \approx 57{,}19\\ \mathrm{L}.
Didática das unidades: nR T tem dimensões de energia (J), mas como 1\\ \mathrm{Pa} = 1\\ \mathrm{N·m^{-2}} e 1\\ \mathrm{J} = 1\\ \mathrm{N·m}, dividir por \mathrm{Pa} \mathrm{m^3}, que é volume — por isso a fórmula é consistente.

Passo 5

Encontrar o diâmetro d de uma esfera com volume V:
  • Fórmula do volume de uma esfera em função do raio r:
V = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Em termos do diâmetro d = 2r, isso vira
V = \frac{\pi}{6}\,d^{3}.
  • Isolando d:
d = \left(\frac{6V}{\pi}\right)^{1/3}.
  • Substituindo V = 0{,}057190\\ \mathrm{m^{3}}:
    • Calcule a razão:
    \frac{6V}{\pi} = \frac{6\times0{,}057190}{\pi} \approx 0{,}109206.
    • Tire a raiz cúbica:
    d \approx (0{,}109206)^{1/3} \approx 0{,}4780\\ \mathrm{m}.
  • Converter para centímetros: d \approx 47{,}80\\ \mathrm{cm}.
Explicação prática: imaginar uma esfera de quase meio metro de diâmetro ajuda — esse é o diâmetro necessário para conter 10\\ \mathrm{kg} de \mathrm{O_2} comprimido a 14\\ \mathrm{MPa} na aproximação de gás ideal.

Passo 6

Resumo e checagem rápida dos valores (conselho de prova):
  • Sempre confira unidades: \mathrm{kg}, \mathrm{kg·mol^{-1}}, \mathrm{K}, \mathrm{Pa} — se estiver tudo consistente, o valor final em \mathrm{m^{3}} está correto.
  • Lembre-se do aviso prático: para pressões muito altas a aproximação ideal pode errar; mas em muitas provas de graduação espera-se esse procedimento.

Resposta

V \approx 0{,}05719\\ \mathrm{m^{3}} \approx 57{,}19\\ \mathrm{L}
d \approx 0{,}4780\\ \mathrm{m} \approx 47{,}80\\ \mathrm{cm}

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