A perda de carga em tubulações é uma função, dentre outras variá veis, do fator de atrito de Darcy (f). Para um fluido newtoniano escoando no interior de uma tubl lação de comprimento L. diâmetro D, rugosidade relativa \varepsilon / D e sob um determinado número de heynolds Re, tem-se que o fator de atrito
Escolha uma opção:
◯ A.
é uma função de L, ɛ/D e Re para escoamentos turbulentos.
◯ B.
é uma função apenas de \varepsilon / D para escoamentos laminares.
◯ C.
é uma função apenas de \varepsilon / D para escoamentos plenamente turbulentos (altos Re).
◯ D.
é igual a 32 / Re para escoamentos laminares em tubos da área da seçäo transversal circular.

Passo 1

O enunciado pede que você escolha qual das quatro afirmações (A, B, C, D) sobre o fator de atrito de Darcy f é correta, dadas as condições: fluido newtoniano, escoamento em tubulação de comprimento L, diâmetro D, rugosidade relativa \varepsilon/D e número de Reynolds \mathrm{Re}. As opções são:
A. é uma função de L, \varepsilon/D e \mathrm{Re} para escoamentos turbulentos.
B. é uma função apenas de \varepsilon/D para escoamentos laminares.
C. é uma função apenas de \varepsilon/D para escoamentos plenamente turbulentos (altos \mathrm{Re}).
D. é igual a 32/\mathrm{Re} para escoamentos laminares em tubos da área da seção transversal circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fator de atrito de Darcy e onde ele aparece: a equação de Darcy–Weisbach para perda de carga (ou queda de pressão) em uma tubulação é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga (altura de energia perdida por unidade de peso do fluido),
  • f é o fator de atrito de Darcy (sem dimensão),
  • L é o comprimento da tubulação,
  • D é o diâmetro interno da tubulação,
  • V é a velocidade média do fluxo,
  • g é a aceleração da gravidade.
Repare que L aparece multiplicando f na expressão de perda de carga, mas isto não implica que f dependa de L. Ou seja, L atua sobre a perda total h_f, não costuma entrar como variável do próprio f.

Passo 3

Agora vamos ao caso laminar (conteúdo que você precisa dominar para a prova). Para escoamento laminar, totalmente desenvolvido em tubo circular, existe a solução analítica de Poiseuille que nos dá a relação entre queda de pressão e velocidade. As etapas principais (resumo prático):
  1. A vazão volumétrica pela lei de Poiseuille é
Q = \frac{\pi D^4}{128\mu}\,\frac{\Delta p}{L},
onde \mu é a viscosidade dinâmica e \Delta p é a queda de pressão ao longo do comprimento L.
  1. A velocidade média é V = Q / ( \pi D^2/4). Substituindo Q e isolando \Delta p obtemos (passo intermediário omitido por brevidade, mas é só álgebra):
\Delta p = \frac{32\mu V L}{D^2}.
  1. A forma de Darcy–Weisbach para queda de pressão em termos de f é
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^2}{2},
onde \rho é a densidade do fluido.
  1. Igualando as duas expressões para \Delta p e isolando f:
f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^2}{2} = \frac{32\mu V L}{D^2}.
Cancele L e reorganize:
f = \frac{64\mu}{\rho V D} = \frac{64}{\mathrm{Re}},
onde definimos o número de Reynolds como \mathrm{Re} = \dfrac{\rho V D}{\mu}.
Conclusão importante: para escoamento laminar em tubo circular totalmente desenvolvido, o fator de atrito de Darcy é
f = \frac{64}{\mathrm{Re}}.
Isso mostra duas coisas úteis para a prova: (i) f depende apenas de \mathrm{Re} no regime laminar e (ii) o valor correto é 64/\mathrm{Re}, não 32/\mathrm{Re}.

Passo 4

Interpretação imediata para as alternativas:
  • A opção B afirma que f é função apenas de \varepsilon/D para escoamentos laminares. Isso é falso, porque acabamos de ver que em laminar f=64/\mathrm{Re}, ou seja, independe de \varepsilon/D e depende de \mathrm{Re}. Logo B está errada.
  • A opção D dá 32/\mathrm{Re} para laminar. Isto está incorreto, o correto é 64/\mathrm{Re}. Portanto D está errada.

Passo 5

Agora o caso turbulento (o ponto-chave para entender a opção C). No regime turbulento, o comportamento de f é mais complexo e depende de duas coisas principais: o número de Reynolds \mathrm{Re} e a rugosidade relativa \varepsilon/D. A relação mais conhecida que envolve ambos é a equação implícita de Colebrook–White:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7} + \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right).
Nessa equação:
  • o termo \dfrac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}} representa o efeito viscoso (dependência com \mathrm{Re}),
  • o termo \dfrac{\varepsilon/D}{3{,}7} representa o efeito da rugosidade.

Passo 6

Regimes dentro do turbulento:
  • Em regime de turbulência moderada/baixa (ou “turbulento suave”), ambos os termos da Colebrook influenciam f: há dependência tanto de \mathrm{Re} quanto de \varepsilon/D.
  • Em regime “plena turbulência” ou “domínio totalmente rugoso” (Re muito grande), o termo viscoso \dfrac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}} fica desprezível em relação ao termo da rugosidade. Então a equação de Colebrook reduz para a assimptota completamente rugosa:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}\right),
ou equivalentemente
f = \left[-2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}\right)\right]^{-2}.
Isto mostra que, para altos \mathrm{Re} (plena turbulência), f depende praticamente só da rugosidade relativa \varepsilon/D e deixa de depender de \mathrm{Re}.

Passo 7

Agora avaliando as alternativas com o que aprendemos:
  • A: “é função de L, \varepsilon/D e \mathrm{Re} para escoamentos turbulentos.” Errado — L não entra como variável do fator de atrito f (aparece na perda total h_f multiplicando f, mas f depende basicamente de \mathrm{Re} e \varepsilon/D).
  • B: “é função apenas de \varepsilon/D para escoamentos laminares.” Errado — no laminar f=64/\mathrm{Re}, independe de \varepsilon/D.
  • C: “é função apenas de \varepsilon/D para escoamentos plenamente turbulentos (altos \mathrm{Re}).” Correto — em plena turbulência (regime totalmente rugoso) f tende a depender apenas de \varepsilon/D (veja a forma assintótica acima).
  • D: “é igual a 32/\mathrm{Re} para escoamentos laminares…” Errado — o valor correto é 64/\mathrm{Re} (para o fator de Darcy); 32/\mathrm{Re} não corresponde ao fator de Darcy em tubo circular laminar.

Resposta

(C)

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