Um tanque de volume máximo \mathbf{3 0 0 0} litros, contém inicialmente \mathbf{8 0 0} litros de água, nos quais são dissolvidas \mathbf{2 0 0} gramas de sal. Dois litros de água com concentração de \mathbf{2 g} / \mathbf{L} são nele despejados por minuto. A mistura no tanque é constantemente revolvida de
modo a mantê-la uniforme. Ao mesmo tempo, 1L dessa mistura vaza do tanque a cada minuto. Quanto sal resta no tanque após 5 h ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Volume máximo do tanque: 3000 litros (informação de capacidade, não será atingida aqui).
  • Volume inicial de água no tanque: 800 litros.
  • Massa inicial de sal dissolvida: 200 gramas.
  • Entrada: 2 litros por minuto de água com concentração de 2\\ \text{g}/\text{L}.
  • Saída: 1 litro por minuto da mistura do tanque (a mistura é sempre homogênea).
  • O enunciado pede: quanto sal resta no tanque após 5 horas?
Informações extras que resultam diretamente dos dados acima (sem resolver ainda):
  • Taxa de entrada de sal (massa por tempo) é a vazão de entrada multiplicada pela concentração de entrada.
  • O tempo pedido será convertido para a mesma unidade de fluxo (minutos): 5 horas =300 minutos.

Passo 2

Definir as variáveis e transformar os dados em expressões úteis.
  • Seja t o tempo em minutos contado a partir do instante inicial (então t=0 é o começo).
  • Seja S(t) a massa de sal, em gramas, no tanque no instante t. Temos a condição inicial \;S(0)=200\; (gramas).
  • Converter 5 horas em minutos: 5\\ \text{h}=5\cdot60=300 minutos. Então queremos S(300).
Calcule a vazão de sal de entrada:
  • Vazão de entrada de água: 2\\ \text{L/min}.
  • Concentração da entrada: 2\\ \text{g}/\text{L}.
  • Logo, taxa de entrada de sal é (2\\ \text{L/min})\times(2\\ \text{g}/\text{L})=4\\ \text{g/min}.
Calcule o volume do líquido no tanque em função do tempo:
  • Entrada de volume: 2\\ \text{L/min}.
  • Saída de volume: 1\\ \text{L/min}.
  • Portanto o volume aumenta a uma taxa líquida de 2-1=1\\ \text{L/min}.
  • Volume no tempo t: \;V(t)=800+t\; litros (pois em t=0 é 800 L).

Passo 3

Montar a equação diferencial para S(t) (explicando por que).
A variação da massa de sal é igual à taxa de sal que entra menos a taxa de sal que sai:
  • Taxa de entrada de sal: já calculada, é 4\\ \text{g/min}.
  • Taxa de saída de sal: a saída tem vazão 1\\ \text{L/min} e concentração igual à concentração instantânea da mistura no tanque. Como a mistura está homogênea, a concentração no tanque é \dfrac{S(t)}{V(t)} em \text{g}/\text{L}. Assim a taxa de saída de sal é (1\\ \text{L/min})\cdot\dfrac{S(t)}{V(t)}=\dfrac{S(t)}{V(t)}\\ \text{g/min}.
Portanto a equação diferencial é
\frac{dS}{dt}=4-\frac{S(t)}{V(t)}.
Substituindo V(t)=800+t, obtemos
\frac{dS}{dt}=4-\frac{S(t)}{800+t}, \qquad S(0)=200.

Passo 4

Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem passo a passo.
Escrevemos a equação na forma padrão:
\frac{dS}{dt}+\frac{1}{800+t}\,S=4.
Isto é uma equação linear do tipo \dfrac{dS}{dt}+p(t)S=q(t) com p(t)=\dfrac{1}{800+t} e q(t)=4.
A técnica padrão é usar o fator integrante \mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Calcule o fator integrante:
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{1}{800+t}\,dt\right) =\exp\!\big(\ln(800+t)\big)=800+t.
(Observe que \mu(t)=800+t>0 aqui.)
Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos:
(800+t)\frac{dS}{dt}+\frac{800+t}{800+t}S=(800+t)\cdot4,
ou seja
(800+t)\frac{dS}{dt}+S=4(800+t).
O lado esquerdo é a derivada do produto (800+t)S:
\frac{d}{dt}\big[(800+t)S(t)\big]=4(800+t).

Passo 5

Integrar e determinar a constante de integração.
Integramos ambos os lados em relação a t:
(800+t)S(t)=\int 4(800+t)\,dt =4\int (800+t)\,dt=4\left(800t+\frac{t^{2}}{2}\right)+C.
Simplificando:
(800+t)S(t)=3200\,t+2\,t^{2}+C.
Usar a condição inicial S(0)=200 para achar C:
  • Em t=0: (800+0)\cdot200 = 800\cdot200=160000.
  • Da fórmula: 160000 = 3200\cdot0 + 2\cdot0 + C, logo C=160000.
Portanto a solução geral com a constante fica:
(800+t)S(t)=3200\,t+2\,t^{2}+160000.
Isolando S(t):
S(t)=\frac{3200\,t+2\,t^{2}+160000}{800+t}.

Passo 6

Calcular S(300) (valor pedido para 5 horas = 300 minutos) fazendo as contas passo a passo.
Substituir t=300:
  • Calcular 3200\cdot300 = 960000.
  • Calcular 2\cdot300^{2}=2\cdot90000=180000.
  • Somar com 160000: 960000+180000+160000=1300000.
  • Denominador: 800+300=1100.
Logo
S(300)=\frac{1300000}{1100}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 100:
S(300)=\frac{13000}{11}\\ \text{g}.
Se preferir valor decimal aproximado:
\frac{13000}{11}\approx1181{,}818\\ \text{g}.

Passo 7

Interpretação curta e checagem rápida (para te deixar mais confiante).
  • O resultado é positivo e faz sentido: houve entrada contínua de sal mais do que a remoção instantânea, então a massa de sal aumentou em relação aos 200 g iniciais.
  • Uma verificação de limite rápido: quando t cresce muito, a concentração tende à concentração da entrada 2\\ \text{g}/\text{L}, então a massa cresce aproximadamente como 2\cdot V(t); para t=300 nosso resultado está coerente com essa ideia qualitativa.
Força aí — você tem a fórmula fechada que pode usar para outros tempos também.

Resposta

\dfrac{13000}{11}\\ \text{g}\approx1181{,}818\\ \text{g}

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