Um tanque de volume máximo
litros, contém inicialmente
litros de água, nos quais são dissolvidas
gramas de sal. Dois litros de água com concentração de
são nele despejados por minuto. A mistura no tanque é constantemente revolvida de
modo a mantê-la uniforme. Ao mesmo tempo, 1L dessa mistura vaza do tanque a cada minuto. Quanto sal resta no tanque após 5 h ?
modo a mantê-la uniforme. Ao mesmo tempo, 1L dessa mistura vaza do tanque a cada minuto. Quanto sal resta no tanque após 5 h ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado):
- Volume máximo do tanque:
litros (informação de capacidade, não será atingida aqui). - Volume inicial de água no tanque:
litros. - Massa inicial de sal dissolvida:
gramas. - Entrada:
litros por minuto de água com concentração de . - Saída:
litro por minuto da mistura do tanque (a mistura é sempre homogênea). - O enunciado pede: quanto sal resta no tanque após
horas?
Informações extras que resultam diretamente dos dados acima (sem resolver ainda):
- Taxa de entrada de sal (massa por tempo) é a vazão de entrada multiplicada pela concentração de entrada.
- O tempo pedido será convertido para a mesma unidade de fluxo (minutos):
horas minutos.
Passo 2
Definir as variáveis e transformar os dados em expressões úteis.
- Seja
o tempo em minutos contado a partir do instante inicial (então é o começo). - Seja
a massa de sal, em gramas, no tanque no instante . Temos a condição inicial (gramas). - Converter
horas em minutos: minutos. Então queremos .
Calcule a vazão de sal de entrada:
- Vazão de entrada de água:
. - Concentração da entrada:
. - Logo, taxa de entrada de sal é
.
Calcule o volume do líquido no tanque em função do tempo:
- Entrada de volume:
. - Saída de volume:
. - Portanto o volume aumenta a uma taxa líquida de
. - Volume no tempo
: litros (pois em é L).
Passo 3
Montar a equação diferencial para
(explicando por que).
A variação da massa de sal é igual à taxa de sal que entra menos a taxa de sal que sai:
- Taxa de entrada de sal: já calculada, é
. - Taxa de saída de sal: a saída tem vazão
e concentração igual à concentração instantânea da mistura no tanque. Como a mistura está homogênea, a concentração no tanque é em . Assim a taxa de saída de sal é .
Portanto a equação diferencial é
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem passo a passo.
Escrevemos a equação na forma padrão:
Isto é uma equação linear do tipo
com
e
.
A técnica padrão é usar o fator integrante
.
Calcule o fator integrante:
Calcule o fator integrante:
(Observe que
aqui.)
Multiplicando a equação original por
obtemos:
ou seja
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrar e determinar a constante de integração.
Integramos ambos os lados em relação a
:
Simplificando:
Usar a condição inicial
para achar
:
- Em
: . - Da fórmula:
, logo .
Portanto a solução geral com a constante fica:
Isolando
:
Passo 6
Calcular
(valor pedido para
horas =
minutos) fazendo as contas passo a passo.
Substituir
:
- Calcular
. - Calcular
. - Somar com
: . - Denominador:
.
Logo
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Se preferir valor decimal aproximado:
Passo 7
Interpretação curta e checagem rápida (para te deixar mais confiante).
- O resultado é positivo e faz sentido: houve entrada contínua de sal mais do que a remoção instantânea, então a massa de sal aumentou em relação aos
g iniciais. - Uma verificação de limite rápido: quando
cresce muito, a concentração tende à concentração da entrada , então a massa cresce aproximadamente como ; para nosso resultado está coerente com essa ideia qualitativa.
Força aí — você tem a fórmula fechada que pode usar para outros tempos também.