Mais tarde em nossos estudos de física encontraremos grandezas representadas por (A x B).C. a) quaisquer que sejam os vetores A, B e C, prove que ( A times B ). C =(C times B) A b) calcule (A times B) C para os três vetores seguintes: A com módulo igual a 5 e ângulo 26^circ medido supondo-se uma rotação no sentido anti-horário, B com módulo igual a 4 e ângulo 63^circ e C com módulo 6 e orientado ao longo do eixo z. os vetores A e B estão sobre o plano xy.

Passo 1

Então, galera, o que precisamos resolver aqui são duas partes de um exercício sobre produto vetorial e produto escalar na física. A primeira parte (a) pede para provar uma identidade envolvendo esses produtos, e a segunda parte (b) quer que a gente calcule o valor desse produto para vetores específicos dados. Para resolver isso, vamos precisar entender bem como funcionam o produto vetorial (A × B) e o produto escalar ( . ), além de conhecer algumas propriedades desses produtos.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). A gente precisa provar que (A × B) · C = (C × B) · A. Para isso, vamos usar as propriedades do produto escalar e vetorial, conhecidas como as propriedades do produto misto ou produto triplo escalar.

Passo 3

Lembrando que o produto triplo escalar (A × B) · C é igual ao determinante da matriz formada pelos componentes dos vetores A, B e C. Além disso, uma propriedade importante é que o produto triplo escalar é invariante sob uma permutação cíclica dos vetores, ou seja:
(A × B) · C = B × C · A = C × A · B

Passo 4

No nosso caso, queremos mostrar que (A × B) · C = (C × B) · A. Observando a propriedade que mencionamos, podemos permutar ciclicamente os vetores na segunda expressão:
(C × B) · A = (A × C) · B
Mas isso não é exatamente igual a (A × B) · C. Precisamos usar outra propriedade:
O produto vetorial é anticomutativo, ou seja, C × B = - (B × C). Então:
(C × B) · A = - (B × C) · A
E sabemos que (A × B) · C = (C × A) · B

Passo 5

Perceba que há um erro na igualdade proposta inicialmente. Na verdade, a identidade correta é:
(A × B) · C = (B × C) · A = (C × A) · B
Portanto, a igualdade (A × B) · C = (C × B) · A não é correta a menos que o produto triplo seja zero, o que não podemos assumir sem mais informações.

Passo 6

Assim, a prova da igualdade (A × B) · C = (C × B) · A não é válida de forma geral, pois elas não são iguais a menos que o produto triplo seja zero. Portanto, a identidade proposta não se mantém para quaisquer vetores A, B e C.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b) do exercício, onde precisamos calcular (A × B) · C para vetores específicos.

Passo 8

Primeiro, vamos definir os vetores:
  • Vetor A: módulo 5, ângulo de 26°, no plano xy.
  • Vetor B: módulo 4, ângulo de 63°, no plano xy.
  • Vetor C: módulo 6, orientado ao longo do eixo z.

Passo 9

Para calcular (A × B) · C, vamos seguir os seguintes passos:
  1. Encontrar as componentes de A e B no plano xy.
  2. Calcular o produto vetorial A × B.
  3. Calcular o produto escalar desse resultado com o vetor C.

Passo 10

Primeiro, vamos encontrar as componentes de A e B:
Para um vetor no plano xy com módulo M e ângulo θ:
A_x = M * cos(θ)
A_y = M * sin(θ)
Então:
A_x = 5 * cos(26°)
A_y = 5 * sin(26°)
B_x = 4 * cos(63°)
B_y = 4 * sin(63°)

Passo 11

Calculando os valores:
A_x = 5 * cos(26°) ≈ 5 * 0,8988 ≈ 4,494
A_y = 5 * sin(26°) ≈ 5 * 0,4384 ≈ 2,192
B_x = 4 * cos(63°) ≈ 4 * 0,4540 ≈ 1,816
B_y = 4 * sin(63°) ≈ 4 * 0,8910 ≈ 3,564

Passo 12

O vetor C está ao longo do eixo z, então suas componentes são:
C_x = 0
C_y = 0
C_z = 6

Passo 13

Agora, vamos calcular o produto vetorial A × B. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores A e B no espaço 3D é:
A × B = (A_y * B_z - A_z * B_y, A_z * B_x - A_x * B_z, A_x * B_y - A_y * B_x)
Como A e B estão no plano xy, suas componentes z são zero:
A_z = 0
B_z = 0
Então:
A × B = (A_y * 0 - 0 * B_y, 0 * B_x - A_x * 0, A_x * B_y - A_y * B_x) = (0, 0, A_x * B_y - A_y * B_x)

Passo 14

Calculando A × B:
A × B = (0, 0, (4,494 * 3,564) - (2,192 * 1,816)) ≈ (0, 0, 16,000 - 3,984) ≈ (0, 0, 12,016)

Passo 15

Agora, vamos calcular o produto escalar de (A × B) com C:
(A × B) · C = (0, 0, 12,016) · (0, 0, 6) = 00 + 00 + 12,016*6 ≈ 72,096

Resposta

O valor de (A times B) cdot C é aproximadamente 72,!096 unidades.

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